人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质同步训练题

3.2.2　奇偶性

课后训练巩固提升

A组

1.函数f(x)=x4+x2(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数也是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

答案:B

2.函数f(x)=-x的图象(　　)

A.关于y轴对称 B.关于直线y=x对称

C.关于坐标原点对称 D.关于直线y=-x对称

解析:∵f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=--(-x)=x-=-f(x),

∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.

答案:C

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)内单调递减的为(　　)

A.y= B.y=

C.y=x2 D.y=

解析:易判断A,C为偶函数,B,D为奇函数,但函数y=x2在(0,+∞)内单调递增,所以选A.

答案:A

4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)=(　　)

A.-3 B.-1 C.1 D.3

解析:因为f(x)是奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.

答案:A

5.下列判断正确的是(　　)

A.函数f(x)=是奇函数

B.函数f(x)=是偶函数

C.函数f(x)=x+是非奇非偶函数

D.函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数

解析:A中函数的定义域为{x|x≠2},不关于原点对称,故f(x)不是奇函数,故A错误;

B中函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数,故B错误;

C中函数的定义域为{x|x≤-1,或x≥1},f(-x)=-x+≠f(x),f(-x)=-x+≠-f(x),故f(x)是非奇非偶函数,故C正确;D中函数是偶函数,但不是奇函数,故D错误.故选C.

答案:C

6.设函数f(x)=且f(x)为偶函数,则g(-2)=(　　)

A.6 B.-6 C.2 D.-2

解析:∵f(x)为偶函数,

∴f(-2)=g(-2)=f(2)=22+2=6.

答案:A

7.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　　　　,b=　　　　　. 

解析:依题意应有a-1+2a=0,解得a=,此时f(x)=x2+bx+1+b,而f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即x2-bx+1+b=x2+bx+1+b,解得b=0.

答案:　0

8.已知函数f(x)是奇函数,且当x>2时,f(x)=x2-,则当x<-2时,f(x)=　　　　　. 

解析:设x<-2,则-x>2,于是f(-x)=(-x)2-=x2+.

又因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),

即-f(x)=x2+,故f(x)=-x2-.

答案:-x2-

9.判断下列各函数的奇偶性.

(1)f(x)=;

(2)f(x)=;

(3)f(x)=|x+2|-|x-2|;

(4)f(x)=

解:(1)定义域是{x|x≠1},不关于原点对称,故f(x)是非奇非偶函数.

(2)定义域是{-1,1},f(x)=0,故f(x)既是奇函数又是偶函数.

(3)定义域是R,f(-x)=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f(x),故f(x)是奇函数.

(4)当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);

当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).

综上所述,对任意的x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数.

10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.

(1)求f(-2);

(2)求出函数f(x)在R上的解析式;

(3)在坐标系中画出函数f(x)的图象.

解:由于函数f(x)是定义在(-∞,+∞)内的奇函数,因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x).

(1)f(-2)=-f(2);又f(2)=22-2×2=0,故f(-2)=0.

(2)①因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0;

②当x<0时,-x>0,由f(x)是奇函数,

知f(-x)=-f(x).

则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.

综上,f(x)=

(3)图象如下:

B组

1.下列说法中,不正确的是(　　)

A.若函数f(x)是定义域为R的偶函数,则f(-3)=f(3)

B.若f(-3)=f(3),则函数f(x)是偶函数

C.若f(-3)≠-f(3),则函数f(x)一定不是R上的奇函数

D.若函数f(x)不是定义域为R的偶函数,则仍可能有f(-3)=f(3)

答案:B

2.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是(　　)

A.|f(x)|-g(x)是奇函数

B.f(x)-|g(x)|是奇函数

C.|f(x)|+g(x)是偶函数

D.f(x)+|g(x)|是偶函数

解析:因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,令h(x)=f(x)+|g(x)|,则h(-x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|-g(x)|=f(x)+|g(x)|=h(x),所以h(x)是偶函数,选项D正确.

答案:D

3.已知函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且f(x+1)为偶函数,则实数a的值为(　　)

A. B.2 C.4 D.6

解析:∵f(x)的定义域为(3-2a,a+1),

∴由3-2a<x+1<a+1,得2-2a<x<a,

∴f(x+1)的定义域为(2-2a,a).

又f(x+1)为偶函数,

∴其定义域关于原点对称,

∴2-2a=-a,即a=2.

故选B.

答案:B

4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于(　　)

A.4 B.3 C.2 D.1

解析:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以由已知得-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,解得g(1)=3.

答案:B

5.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=　　　　　. 

解析:依题意知f(-x)=f(x)恒成立,

故x2-|x-a|=x2-|x+a|,

因此|x-a|=|x+a|,解得a=0.

答案:0

6.设奇函数f(x)的定义域为[-6,6],当x∈[0,6]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集用区间表示为　　　　　　 . 

解析:由f(x)在区间[0,6]上的图象知,满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3).

又f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以在区间[-6,0)上,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3).

综上可知,不等式f(x)<0的解集为[-6,-3)∪(0,3).

答案:[-6,-3)∪(0,3)

7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.

(1)求出f(x)的解析式;

(2)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补出函数f(x)完整的图象,并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间和值域.

解:(1)令x>0,则-x<0,

∴f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.

∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=x2-2x.

∴f(x)的解析式为f(x)=

(2)f(x)的图象如图所示.

由图知f(x)的单调递增区间为[-1,0]和[1,+∞),f(x)的值域为[-1,+∞).

8.已知f(x)是定义在R上的函数,设g(x)=,h(x)=.

(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性;

(2)试判断g(x),h(x)与f(x)的关系;

(3)由此你能猜想出什么样的结论?并说明理由.

解:(1)∵g(x)和h(x)的定义域均为R,

又g(-x)==g(x),

h(-x)==-h(x),

∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数.

(2)g(x)+h(x)==f(x).

(3)如果一个函数的定义域关于原点对称,那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.