高中数学4.1 指数第1课时当堂达标检测题

第1课时　指数函数及其图象、性质(一)

课后训练巩固提升

A组

1.若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则有(　　)

A.a=1或a=2 B.a=1

C.a=2 D.a>1,且a≠2

解析:由指数函数的概念,得a2-3a+3=1,解得a=1或a=2.当a=1时,底数是1,不符合题意,舍去;当a=2时,符合题意,故选C.

答案:C

2.函数f(x)=a2 018-x+2 017(a>0,a≠1)的图象恒过定点 (　　)

A.(2 017,2 017) B.(2 018,2 017)

C.(2 017,2 018) D.(2 018,2 018)

解析:因为f(2018)=a0+2017=2018,所以函数的图象恒过定点(2018,2018).

答案:D

3.函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于(　　)

A.原点对称 B.x轴对称

C.y轴对称 D.直线y=-x对称

解析:设点(x,y)为函数f(x)=πx的图象上任意一点,则点(-x,y)为函数g(x)=的图象上的点.因为点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称,所以函数f(x)=πx与g(x)=的图象关于y轴对称,选C.

答案:C

4.若,则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,+∞) B.(-∞,1)

C.(3,+∞) D.(-∞,3)

解析:因为函数y=在R上是减函数,所以由已知可得2a+1>4-a,解得a>1.故选A.

答案:A

5.函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)与g(x)=-x+a的图象大致是(　　)

解析:当a>1时,f(x)=ax在R上是增函数,此时g(0)=a>1;

当0<a<1时,f(x)=ax在R上是减函数,此时g(0)=a<1.

易知g(x)的图象必经过第二、第四象限,

结合选项可知选A.

答案:A

6.已知函数f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的图象经过点(-1,5),(0,4),则f(-2)的值为　　　　　. 

解析:由已知得解得

所以f(x)=+3.

所以f(-2)=+3=4+3=7.

答案:7

7.已知5a=0.3,0.7b=0.8,则ab与0的大小关系是　　　　　. 

解析:由f(x)=5x与g(x)=0.7x的图象(图略),可知5a=0.3<1,故a<0.

同理可得b>0.所以ab<0.

答案:ab<0

8.已知实数a,b满足等式,下列五个关系式:

①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;

④b<a<0;⑤a=b.

其中不可能成立的关系式是　　　　　.(只填序号) 

解析:作出函数y=与y=的图象,如图所示.当两个图象上点的纵坐标相等时,只有①②⑤满足.故不可能成立的关系式是③④.

答案:③④

9.比较下列每组中两个值的大小:

(1);

(2);

(3)0.20.3,0.30.2.

解:(1)因为0<<1,所以函数y=在R上单调递减,又因为-1.8>-2.5,所以.

(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y=与y=的图象,如图所示.

当x=-0.5时,观察图象可得.

(3)因为0<0.2<0.3<1,所以指数函数y=0.2x与y=0.3x在定义域R上均是减函数,且在区间(0,+∞)内,函数y=0.2x的图象在函数y=0.3x的图象的下方(类似于上图),所以0.20.2<0.30.2.

又根据指数函数y=0.2x在R上是减函数,可得0.20.3<0.20.2,

所以0.20.3<0.30.2.

10.已知指数函数f(x)的图象经过点.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若f(|x|)>f(1),求x的取值范围;

(3)证明f(a)·f(b)=f(a+b).

(1)解:设指数函数f(x)=mx(m>0,且m≠1),将点代入,得m2=,解得m=舍去m=-.所以f(x)=.

(2)解:由(1)知指数函数f(x)=在R上是减函数,又f(|x|)>f(1),所以|x|<1,解得-1<x<1.

所以x的取值范围为(-1,1).

(3)证明:因为f(a)·f(b)=,且f(a+b)=,所以f(a)·f(b)=f(a+b).

B组

1.已知f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是(　　)

A.a>0 B.a>1

C.a<1 D.0<a<1

解析:∵-2>-3,f(-2)>f(-3),

∴f(x)=a-x=在R上单调递增.

∴>1,且a>0.∴0<a<1.

故选D.

答案:D

2.设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则(　　)

A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3

C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2

解析:因为40.9=21.8,80.48=21.44,=21.5,又y=2x在R上是增函数,所以21.8>21.5>21.44,即y1>y3>y2.

答案:D

3.已知f(x)=,x∈R,则f(x)是(　　)

A.奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递增

B.偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增

C.奇函数,且在区间(0,+∞)内单调递减

D.偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减

解析:函数f(x)=其图象如图所示.由图象可知答案选D.

答案:D

4.已知函数f(x)=(x-a)·(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是(　　)

解析:由f(x)的图象知0<a<1,b<-1,故排除C,D.因为g(0)=1+b<0,所以排除B,故选A.

答案:A

5.已知0.2x<25,则x的取值范围为　　　　　. 

解析:因为0.2x<25,所以可化为5-x<52.所以-x<2,即x>-2.

答案:(-2,+∞)

6.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,则实数a的值为　　　　　. 

解析:①当a>1时,f(x)=ax在区间[0,2]上单调递增,此时f(x)max=f(2)=a2,f(x)min=f(0)=1,所以a2-1=,所以a=;

②当0<a<1时,f(x)=ax在区间[0,2]上单调递减,此时f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(2)=a2,所以1-a2=,所以a=.

综上①②可知,a=或a=.

答案:

7.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0,且a≠1.

(1)求a的值;

(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.

解:(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,

所以a2-1=a=.

(2)由(1)得f(x)=(x≥0),故函数f(x)在区间[0,+∞)内是减函数,

当x=0时,函数f(x)取最大值2,故f(x)∈(0,2].

所以函数y=f(x)+1=+1∈(1,3].

所以函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].

8.已知函数f(x)=(k+3)·ax+3-b(a>0,且a≠1)是指数函数.

(1)求k,b的值;

(2)求解不等式f(2x-7)>f(4x-3).

解:(1)由f(x)=(k+3)ax+3-b(a>0,且a≠1)是指数函数,知k+3=1,3-b=0.故k=-2,b=3.

(2)由(1)得f(x)=ax(a>0,且a≠1).

①当a>1时,f(x)=ax在R上单调递增,

则由f(2x-7)>f(4x-3),得a2x-7>a4x-3,可得2x-7>4x-3,解得x<-2;

②当0<a<1时,f(x)=ax在R上单调递减,

则由f(2x-7)>f(4x-3),得a2x-7>a4x-3,可得2x-7<4x-3,解得x>-2.

综上①②可知,当a>1时,原不等式的解集为(-∞,-2);

当0<a<1时,原不等式的解集为(-2,+∞).