2020-2021学年4.3 对数练习

4.3.2　对数的运算

课后训练巩固提升

A组

1.若a>0,且a≠1,x∈R,y∈R,且xy>0,则下列各式不恒成立的是(　　)

①logax2=2logax;②logax2=2loga|x|;

③loga(xy)=logax+logay;

④loga(xy)=loga|x|+loga|y|.

A.②④ B.①③ C.①④ D.②③

解析:因为xy>0,所以x>0,y>0或x<0,y<0.若x<0,则①式不成立;若x<0,y<0,则③式也不成立,故选B.

答案:B

2.已知a=log32,则log38-2log36=(　　)

A.a-2 B.5a-2 

C.3a-(1+a)2 D.3a-a2-1

解析:log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.

答案:A

3.若log5×log36×log6x=2,则x等于(　　)

A.9 B. C.25 D.

解析:由对数换底公式得=2,即lgx=-2lg5,解得x=5-2=.

答案:D

4.若lg a,lg b是方程2x2-4x+1=0的两根,则=(　　)

A. B. C.1 D.2

解析:由题意可知lga+lgb=2,lga·lgb=.

所以=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·lgb=22-4×=2.

答案:D

5.若2.5x=1 000,0.25y=1 000,则=(　　)

A. B.3 C.- D.-3

解析:因为x=log2.51000,y=log0.251000,所以=log10002.5,同理=log10000.25,因此=log10002.5-log10000.25=log100010=.

答案:A

6.lg+lg =　　　　　. 

解析:lg+lg=lg=lg10=1.

答案:1

7.计算log2×log3×log5的值为　　　　　. 

解析:原式=

==-12.

答案:-12

8.若3x=4y=36,则=　　　　　. 

解析:由3x=4y=36,两边取以6为底的对数,得xlog63=ylog64=2,所以=log63,=log64,即=log62,故=log63+log62=1.

答案:1

9.计算:

(1)+log0.25+9log5-lo1;

(2).

解:(1)+log0.25+9log5-lo1

=+1+9×-0=+1+.

(2)

=

=

==1.

10.已知log23=a,log37=b,用a,b表示log4256.

解:因为log23=a,所以=log32.

又因为log37=b,

所以log4256==.

B组

1.计算(log32+log23)2-的值是(　　)

A.log26 B.log36 C.2 D.1

解析:原式=(log32)2+2log32·log23+(log23)2-(log32)2-(log23)2=2.

答案:C

2.若lg x-lg y=t,则lg-lg=(　　)

A.3t B.t C.t D.

解析:lg-lg=3lg-3lg=3lg=3(lgx-lgy)=3t.

答案:A

3.若实数a,b,c满足16a=505b=2 020c=2 018,则下列式子正确的是(　　)

A. B. 

C. D.

解析:由已知,得42a=505b=2020c=2018,得2a=log42018,b=log5052018,c=log20202018,所以=log20184,=log2018505,=log20182020,而4×505=2020,所以,即,故选A.

答案:A

4.方程log2x+=1的解是x=　　　　　. 

解析:原方程可变为log2x+log2(x+1)=1,即log2[x(x+1)]=1,即x(x+1)=2,解得x=1或x=-2.又所以x=1.

答案:1

5.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,log(xyz)m=12,则logzm的值为　　　　　.

解析:∵logxm=24,logym=40,

∴logmx=,logmy=.

又logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,

∴logmz=-logmx-logmy=.

∴logzm=60.

答案:60

6.已知使log23×log34×log45×…×log(k+1)(k+2)(k∈N*)为整数的k称为“企盼数”,则在区间[1,1 000]上“企盼数”共有　　　　　个. 

解析:由log23×log34×log45×…×log(k+1)(k+2)=×…×=log2(k+2)为整数,可知k+2=2n(n∈Z).又k∈[1,1000],所以k+2=22,23,…,29,故k∈{2,6,14,30,62,126,254,510},所以在区间[1,1000]上共有8个“企盼数”.

答案:8

7.已知4a=8,2m=9n=36,且=b,试比较1.5a与0.8b的大小.

解:∵4a=8,∴22a=23,∴2a=3,即a=.

∵2m=9n=36,∴m=log236,n=log936.

又=b,∴b==log362+log369=log362+log363=log366=.

∵y=1.5x在R上单调递增,y=0.8x在R上单调递减,

∴1.5a=1.>1.50=1,0.8b=0.<0.80=1,

∴1.5a>0.8b.

8.甲、乙两人解关于x的方程:log2x+b+clogx2=0,甲写错了常数b,得到根;乙写错了常数c,得到根,64.求原方程的根.

解:原方程可变形为(log2x)2+blog2x+c=0.

∵甲写错了常数b,得到的根为,

∴c=log2×log2=6.

∵乙写错了常数c,得到的根为和64,

∴b=-=-(-1+6)=-5.

∴原方程为(log2x)2-5log2x+6=0,

即(log2x-2)(log2x-3)=0.

∴log2x=2或log2x=3,即x=4或x=8.