高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数第2课时随堂练习题

第2课时　对数函数及其图象、性质(二)

课后训练巩固提升

A组

1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是(　　)

A.y=x-1 B.y=3|x|

C.y=log3x D.y=log23x

解析:因为y=log23x=xlog23,所以该函数是正比例函数,既是奇函数,又是增函数.

答案:D

2.若函数y=lg是奇函数,则实数a的值等于 (　　)

A.1 B.-1 C.2 D.0

解析:因为函数y=lg是奇函数,所以lg=-lg=lg,即-a=,化简得4-4a+a2(1-x2)=1-x2,所以解得a=1.

答案:A

3.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

解析:当0<a<1时,函数f(x)在区间上单调递减,所以loga>0,即0<-a<1,解得<a<,故<a<1;当a>1时,函数f(x)在区间上单调递增,所以loga(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0,此时无解.综上所述,实数a的取值范围是.故选A.

答案:A

4.若函数f(x)=loga|x-2|(a>0,且a≠1)在区间(1,2)内单调递增,则f(x)在区间(2,+∞)内的单调性为(　　)

A.先增后减 B.先减后增

C.单调递增 D.单调递减

解析:当1<x<2时,函数f(x)=loga|x-2|=loga(2-x)在区间(1,2)内单调递增,所以0<a<1;函数f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)内的解析式为f(x)=loga(x-2)(0<a<1),故在区间(2,+∞)内单调递减.

答案:D

5.已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R,则k的取值范围是(　　)

A.0<k<1 B.0≤k<1

C.k≤0或k≥1 D.k=0或k≥1

解析:令t=x2-2kx+k,由y=log2(x2-2kx+k)的值域为R.可知函数t=x2-2kx+k的图象一定与x轴有交点,所以Δ=4k2-4k≥0,即k≤0或k≥1.

答案:C

6.若函数f(x)=log2(ax+1)在区间[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:由题意得解得a>0.

答案:(0,+∞)

7.函数y=log2(x2-1)的单调递增区间为　　　　　. 

解析:由x2-1>0可知定义域为{x|x<-1或x>1}.又y=log2t在定义域上单调递增,t=x2-1在区间(1,+∞)内单调递增,所以函数y的单调递增区间为(1,+∞).

答案:(1,+∞)

8.函数y=lo(2x+1)的值域为　　　　　. 

解析:因为2x+1>1,函数y=lo(2x+1)在区间(0,+∞)内是减函数,

所以lo(2x+1)<lo1=0,即所求函数的值域为(-∞,0).

答案:(-∞,0)

9.已知x满足≤x≤8,求函数f(x)=2(log4x-1)·log2的最大值和最小值.

解:由≤x≤8,得≤log2x≤3.

因为f(x)=2(log4x-1)·log2

=(log2x-2)(log2x-log22)

=(log2x)2-3log2x+2

=,

所以当log2x=时,f(x)min=-;当log2x=3时,f(x)max=2.

10.已知f(x)=lo(x2-ax-a).

(1)当a=-1时,求f(x)的单调区间及值域;

(2)若f(x)在区间内单调递增,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=-1时,f(x)=lo(x2+x+1).

因为x2+x+1=,

所以lo(x2+x+1)≤lo=2-log23,

因此f(x)的值域为(-∞,2-log23].

又t=x2+x+1在区间上单调递减,在区间内单调递增,y=lot在区间(0,+∞)内单调递减,

故f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.

(2)令u=x2-ax-a=-a,

因为f(x)在区间内单调递增,

又y=lou在定义域上为减函数,

所以u在区间内单调递减,

且u>0在区间内恒成立.

因此

解得-1≤a≤.

故实数a的取值范围是.

B组

1.方程lg(-2x-1)=lg(x2-9)的根为(　　)

A.2或-4 B.-4

C.2 D.-2或4

解析:由已知,得-2x-1=x2-9,即x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2.经检验x=2不符合题意,舍去.所以原方程的根为x=-4,故选B.

答案:B

2.当0<x≤时,logax>8x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.(,2)

解析:∵logax>8x,∴logax>0.

又0<x≤,∴0<a<1.

作出y=8x与y=logax的大致图象如图所示,则只需满足loga=2=logaa2,解得a>,所以<a<1,故选B.

答案:B

3.已知函数f(x)=ln,则f(x)是(　　)

A.既不是奇函数,也不是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增

B.奇函数,且在R上单调递增

C.既不是奇函数,也不是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递减

D.偶函数,且在R上单调递减

解析:要使函数有意义,则ex>e-x,解得x>0,即函数f(x)的定义域是(0,+∞),故函数f(x)是非奇非偶函数.又y=在区间(0,+∞)内单调递增,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,故选A.

答案:A

4.若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=　　　　　. 

解析:∵函数f(x)=xln(x+)为偶函数,

∴f(-x)=f(x),

∴(-x)ln(-x+)=xln(x+),

∴ln(x+)+ln(-x+)=0,

∴ln(a+x2-x2)=lna=0,∴a=1.

答案:1

5.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为　　　　　. 

解析:当a>1时,y=ax与y=loga(x+1)在区间[0,1]上都单调递增,

所以f(x)max=f(1)=a+loga2,f(x)min=f(0)=a0+loga1=1,

所以a+loga2+1=a,即loga2=-1,故a=(舍去);

当0<a<1时,y=ax与y=loga(x+1)在区间[0,1]上都单调递减,

所以f(x)max=f(0)=a0+loga(0+1)=1,f(x)min=f(1)=a+loga2,所以a+loga2+1=a,即a=.

综上所述,a=.

答案:

6.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集为　　　　　. 

解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2,所以2x<-1,两边取以2为底的对数,得x<log2(-1).

答案:(-∞,log2(-1))

7.已知函数f(x)=lo(a为常数).

(1)若常数a<2,且a≠0,求f(x)的定义域;

(2)若f(x)在区间(2,4)内单调递减,求实数a的取值范围.

解:(1)对于>0,当0<a<2时,解得x<1,或x>;当a<0时,解得<x<1.

故当0<a<2时,f(x)的定义域为x<1或x>;当a<0时,f(x)的定义域为.

(2)令u=,x∈(2,4),因为y=lou在定义域上为减函数,所以要使f(x)在区间(2,4)内单调递减,只需u==a+在区间(2,4)内单调递增且恒为正值,故有解得1≤a<2,

所以实数a的取值范围为[1,2).

8.已知函数f(x)=lo(x2-2ax+3).

(1)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.

(2)若f(-1)=-3,求f(x)的单调区间.

(3)是否存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1)∵函数f(x)=lo(x2-2ax+3)的定义域为R,

∴x2-2ax+3>0恒成立,∴Δ<0,即4a2-12<0,解得-<a<,∴a的取值范围为-<a<.

(2)∵f(-1)=-3,∴lo(1+2a+3)=lo8,

∴4+2a=8,∴a=2.∴f(x)=lo(x2-4x+3).

∵x2-4x+3>0,即(x-3)(x-1)>0,∴x<1或x>3.

故m(x)=x2-4x+3在区间(-∞,1)内单调递减,在区间(3,+∞)内单调递增.

又f(x)=lom(x)为减函数,∴根据复合函数单调性的规律可知,函数f(x)在区间(-∞,1)内单调递增,在区间(3,+∞)内单调递减.

故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(3,+∞).

(3)不存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增.理由如下:

函数f(x)=lo(x2-2ax+3).

设n(x)=x2-2ax+3,可知函数n(x)在区间(-∞,a)内单调递减,在区间(a,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间(-∞,a)内单调递增,在区间(a,+∞)内单调递减.

因为函数f(x)在区间(-∞,2)内单调递增,所以a≥2,且4-4a+3>0,解得a≥2,且a<.

所以没有符合这种条件的a.

故不存在实数a,使f(x)在区间(-∞,2)内单调递增.