高中人教A版 (2019)4.5 函数的应用（二）当堂达标检测题

4.5.2　用二分法求方程的近似解

课后训练巩固提升

1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　)

A.[-2,1] B.[-1,0]

C.[0,1] D.[1,2]

解析:因为f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,所以可取[-2,1]作为初始区间.

答案:A

2.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　　)

A.[1,4] B.[-2,1]

C. D.

解析:因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4].所以第三次所取的区间可能为.

答案:D

3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)可以是(　　)

A.1.25 B.1.375

C.1.42 D.1.5

解析:由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在区间(1.40625,1.4375)内.结合选项可知,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)可以是1.42.

答案:C

4.用二分法求函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间的中点2,则下一个存在零点的区间为(　　)

A.(0,1) B.(0,2)

C.(2,3) D.(2,4)

解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0.所以零点所在区间为(0,2).

答案:B

5.在用二分法求函数f(x)的一个正数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正数零点的近似值为(　　)

A.0.68 B.0.72

C.0.7 D.0.6

解析:因为f(0.64)<0,f(0.72)>0,所以函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72),又0.68=×(0.64+0.72),且f(0.68)<0,所以零点所在的区间为(0.68,0.72),且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此,可知选项C中的0.7就是所求函数的一个正数零点的近似值.

答案:C

6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　　,第二次应计算　　　　　. 

解析:因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以x0∈(0,0.5).所以第二次应计算f(0.25).

答案:(0,0.5)　f(0.25)

7.在用二分法求方程f(x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解为　　　　　.(精确度为0.1) 

解析:因为f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.6875)<0,

所以方程的解在区间(0.6875,0.75)内.又因为|0.75-0.6875|<0.1,所以方程的一个近似解为0.6875.

答案:0.687 5

8.已知图象是连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)内有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值,那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为　　　　　. 

解析:设等分的最少次数为n,则<0.01,得2n>10,故n的最小值为4.

答案:4

9.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的解的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:

由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解.(精确度为0.1)

解:因为f(1.25)·f(1.375)<0,所以根据二分法的思想,可知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取区间(1.25,1.375)的中点1.3125,两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.0625<0.1,因此1.3125是一个近似解.

10.判断函数f(x)=2x3-1的零点个数,并用二分法求零点的近似值.(精确度0.1)

解:∵f(0)=-1<0,f(1)=1>0,即f(0)·f(1)<0,

∴f(x)在区间(0,1)内有零点.

又f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数,

∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1).

取区间(0,1)的中点x1=0.5,

f(0.5)=-0.75<0,

∴f(0.5)·f(1)<0,即x0∈(0.5,1).

取区间(0.5,1)的中点x2=0.75,

f(0.75)=-0.15625<0,

∴f(0.75)·f(1)<0,即x0∈(0.75,1).

取区间(0.75,1)的中点x3=0.875,

f(0.875)≈0.34>0,

∴f(0.75)·f(0.875)<0,即x0∈(0.75,0.875).

取区间(0.75,0.875)的中点x4=0.8125,

f(0.8125)=0.073>0,

∴f(0.75)·f(0.8125)<0,即x0∈(0.75,0.8125).

∵|0.8125-0.75|<0.1,

∴f(x)的零点的近似值可取为0.75.