高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试第4课时同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试第4课时同步练习题，共7页。试卷主要包含了化简2lg2+lg的结果为，已知a=lg0等内容，欢迎下载使用。
第4课时　指数函数与对数函数课后训练巩固提升A组1.化简的结果为(　　)A.1 B.2 C.3 D.0解析:==2.答案:B2.关于函数f(x)=与函数g(x)=lo|x|在区间(-∞,0)内的单调性的描述正确的是(　　)A.f(x)和g(x)都单调递增B.f(x)和g(x)都单调递减C.f(x)单调递增,g(x)单调递减D.f(x)单调递减,g(x)单调递增解析:f(x)=在区间(-∞,0)内单调递减,g(x)=lo|x|为偶函数,当x∈(0,+∞)时,g(x)=lox单调递减,所以g(x)在区间(-∞,0)内单调递增.答案:D3.已知f(x)是函数y=log2x的反函数,则y=f(1-x)的图象是(　　)解析:因为f(x)是函数y=log2x的反函数,所以f(x)=2x.所以y=f(1-x)=21-x=,其函数的图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度得到,故选C.答案:C4.函数f(x)=πx+log2x的零点所在区间为(　　)A. B. C. D.解析:因为在4个选项中,只有f<0,又函数f(x)的图象是连续不断的,所以函数f(x)的零点所在区间为.答案:C5.已知a=log0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则(　　)A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a解析:因为y=log0.6x在区间(0,+∞)内为减函数,所以log0.60.6<log0.60.5,即a>1.同理,ln0.5<ln1=0,即b<0.又0<0.60.5<0.60,所以0<c<1.所以a>c>b.答案:B6.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是(　　)A.(0,+∞) B.[0,2]C.(0,2) D.(2,+∞)解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0<m<2.答案:C7.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为　　　　　. 解析:当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,又因为x>1,所以此时方程无解.综上,函数f(x)的零点只有0.答案:08.函数f(x)=log2·lo(2x)的最小值为　　　　　. 解析:由题意得x>0,所以f(x)=log2·lo(2x)=log2x·log2(4x2)=log2x·(log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=≥-.当且仅当x=时,有f(x)min=-.答案:-9.已知函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 解析:分a>1与0<a<1两种情况,画出函数y=ax与函数y=x+a的图象,如图所示.由图知,当a>1时,两个函数的图象有两个交点;当0<a<1时,两个函数的图象有一个交点.所以实数a的取值范围是(1,+∞).答案:(1,+∞)10.已知函数f(x)=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.(1)若ab>0,判断函数f(x)的单调性;(2)若ab<0,求不等式f(x+1)>f(x)的解集.解:(1)当a>0,b>0时,因为y1=a·2x,y2=b·3x在R上都单调递增,所以函数f(x)在R上单调递增;当a<0,b<0时,因为y1=a·2x,y2=b·3x在R上都单调递减,所以函数f(x)在R上单调递减.综上可知,当ab>0时,函数f(x)在R上单调递增.(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.①当a<0,b>0时,>-,解得x>lo;②当a>0,b<0时,<-,解得x<lo.故当a<0,b>0时,所求的解集为xx>lo;当a>0,b<0时,所求的解集为xx<lo.11.已知函数f(x)=log2(2x+1).(1)求证:函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;(2)若g(x)=log2(2x-1)(x>0),且关于x的方程g(x)=m+f(x)在区间[1,2]上有解,求m的取值范围.(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=log2(2x1+1)-log2(2x2+1)=log2.因为x1<x2,所以0<<1,所以log2<0,所以f(x1)<f(x2).所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增.(2)解:因为g(x)=m+f(x),所以g(x)-f(x)=m.设h(x)=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2=log2.设1≤x1<x2≤2,则3≤2x1+1<2x2+1≤5,即,即-≤-,∴≤1-<1-,∴log2≤h(x1)<h(x2)≤log2,即h(x)在区间[1,2]上单调递增且值域为.要使g(x)-f(x)=m有解,需m∈log2,log2.故m的取值范围为.B组1.下列区间中,函数f(x)=|ln(2-x)|在其上单调递增的是(　　)A.(-∞,1] B. C. D.[1,2)解析:当2-x≥1,即x≤1时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递减.当0<2-x≤1,即1≤x<2时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数f(x)在区间[1,2)内单调递增,故选D.答案:D2.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四个函数:f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),则是“同形”函数的是(　　)A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x)C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x)解析:因为f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以f2(x)=log2(x+2)的图象沿着x轴先向右平移2个单位长度得到y=log2x的图象,再沿着y轴向上平移1个单位长度可得到f4(x)=log2(2x)=1+log2x的图象,根据“同形”函数的定义,f2(x)与f4(x)为“同形”函数.f3(x)=log2x2=2log2|x|与f1(x)=2log2(x+1)不“同形”,故选A.答案:A3.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是　　　　　. 解析:画出函数f(x)的图象如图所示.设f(a)=f(b)=f(c)=m,不妨设a<b<c,则直线y=m与函数f(x)的图象交点的横坐标从左到右依次为a,b,c.由图象易知0<a<1<b<e<c<e2,所以f(a)=|lna|=-lna,f(b)=|lnb|=lnb.因此-lna=lnb,lna+lnb=0,lnab=ln1,于是ab=1.所以abc=c∈(e,e2).答案:(e,e2)4.如图,矩形ABCD的三个顶点A,B,C分别在函数y=lox,y=,y=的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2,则点D的坐标为　　　　　. 解析:由题中图象可知,点A(xA,2)在函数y=lox的图象上,所以2=loxA,xA=.点B(xB,2)在函数y=的图象上,所以2=,即xB=4.由点B为(4,2),可知点C为(4,yC).又点C(4,yC)在函数y=的图象上,所以yC=.又xD=xA=,yD=yC=,所以点D的坐标为.答案:5.已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)的最小值为-2,求a的值.解:(1)要使函数f(x)有意义,则有解得-3<x<1.故函数f(x)的定义域为(-3,1).(2)函数f(x)可化为f(x)=loga[(1-x)(x+3)]=loga(-x2-2x+3)=loga[-(x+1)2+4].因为-3<x<1,所以0<-(x+1)2+4≤4.因为0<a<1,所以loga[-(x+1)2+4]≥loga4.所以loga4=-2,即a-2=4,解得a=.6.已知函数f(x)=+log2.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(3)若函数g(x)=f(1-x2)+f,求函数g(x)的零点.解:(1)要使函数f(x)有意义,则有>0,解得-1<x<1,故函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)函数f(x)为奇函数.理由如下:∵f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,对任意的x∈(-1,1),有f(-x)=+log2-log2=-f(x),∴f(x)为奇函数.(3)要求函数g(x)的零点,即求方程g(x)=0的解.由f(1-x2)+f=0及f(x)为奇函数,可得f=-f(1-x2)=f(x2-1),任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,f(x1)-f(x2)==+log2.∵-1<x1<x2<1,<0,(1-x1)(1+x2)-(1+x1)(1-x2)=2(x2-x1)>0,∴0<<1,∴log2<0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在定义域(-1,1)内为增函数,∴由f=f(x2-1),得=x2-1,解得x=2或x=-.验证当x=2时,1-x2<-1,不符合题意,当x=-时,符合题意.∴函数g(x)的零点为x=-.