人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换练习，共7页。试卷主要包含了所以sin2α=-1125等内容，欢迎下载使用。
习题课——三角恒等变换课后训练巩固提升A组1.已知sin α-cos α=,则sin 2α=(　　)A.- B.- C. D.解析:因为sinα-cosα=,所以(sinα-cosα)2=,即sin2α+cos2α-2sinαcosα=,即1-sin2α=.所以sin2α=-.答案:B2.函数f(x)=的最小正周期为(　　)A. B.π C.2π D.4π解析:由题意可知f(x)=2sin-1=|sinx-cosx|=.结合函数f(x)=的图象,可得函数f(x)的最小正周期为π,故选B.答案:B3.已知sin 2α=,则cos2等于(　　)A. B. C. D.解析:因为cos2,所以选A.答案:A4.函数y=cos2+sin2-1是(　　)A.周期为2π的奇函数 B.周期为π的偶函数C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的偶函数解析:∵y=cos2+sin2-1=-1===,∴函数的周期为=π,且sin(-2x)=-sin2x.故选C.答案:C5.若函数f(x)=cos ωx-sin ωx(ω>0)在区间[0,π]内的值域为,则ω的取值范围为(　　)A. B. C. D.(0,1]解析:由题意可知f(x)=cosωx-sinωx=cos,且ω>0,当x∈[0,π]时,f(x)∈,故-1≤cos,可得π≤ωx+,解得≤ω≤,故ω的取值范围为.答案:A6.已知a=(sin 16°+cos 16°),b=2cos214°-1,c=sin 37°·sin 67°+sin 53°·sin 23°,则a,b,c的大小关系为　　　　　. 解析:∵a=cos45°sin16°+sin45°cos16°=sin61°,b=cos28°=sin62°,c=sin37°cos23°+cos37°sin23°=sin60°,又函数y=sinx在区间内单调递增,∴c<a<b.答案:c<a<b7.=　　　　　. 解析:=.答案:8.已知函数f(x)=acos-cos 2x,其中a>0,(1)比较f和f的大小;(2)求函数f(x)在区间上的最小值.解:(1)因为f,f=a+1,所以f-f=(a+1)-=.因为a>0,所以>0,所以f>f.(2)因为f(x)=asinx-cos2x=asinx-(1-2sin2x)=2sin2x+asinx-1,设t=sinx,x∈,所以y=2t2+at-1,t∈[-1,1],其图象的对称轴为直线t=-.当t=-<-1,即a>4时,在t=-1时函数y取得最小值1-a;当t=-≥-1,即0<a≤4时,在t=-时函数y取得最小值--1.综上可知,当a>4时,函数f(x)在区间上的最小值为1-a;当0<a≤4时,函数f(x)在区间上的最小值为--1.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的始边均为x轴正半轴,终边分别与圆O交于A,B两点.若α∈,β=,且点A的坐标为(-1,m).(1)若tan 2α=-,求实数m的值;(2)若tan∠AOB=-,求sin 2α的值.解:(1)由题意可得tan2α==-,解得tanα=-或tanα=2.∵α∈,∴tanα=-.又角α的终边与圆O交于点A(-1,m),∴tanα=,即=-.∴m=.(2)∵tan∠AOB=tan(α-β)=tan=-,又sin2+cos2=1,α-,∴sin,cos=-.∴sin=2sincos=-,cos=2cos2-1=.∴sin2α=sin=sin2α-·cos+cossin.B组1.在△ABC中,sin Asin B=cos2,则下列等式一定成立的是(　　)A.A=B B.A=C C.B=C D.A=B=C解析:∵C=π-(A+B),∴sinAsinB=cos2=cos(A+B)=(cosAcosB-sinAsinB).∴cosAcosB+sinAsinB=.∴cos(A-B)=1.∵0<A<π,0<B<π,∴-π<A-B<π.∴A-B=0.∴A=B.答案:A2.已知tan=3,则sin 2θ-2cos2θ=(　　)A.-1 B.- C. D.-解析:∵tan=3,∴tanθ=.∴sin2θ-2cos2θ===-.答案:B3.已知函数f(x)=3sin ωxcos ωx-4cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π,且f(θ)=,则f=(　　)A.- B.- C.- D.-解析:由题意可得f(x)=3sinωxcosωx-4cos2ωx=sin2ωx-2(1+cos2ωx)=sin(2ωx-φ)-2,故f(x)max=-2=,f(x)min=--2=-.因为f(θ)=,所以当x=θ时,函数f(x)取得最大值.又因为函数的周期为π,所以当x=θ-时,函数f(x)应取得最小值-,即f=-.答案:B4.已知tan(α-β)=,tan,则tan= (　　)A. B. C. D.解析:∵tan(α-β)=,tan,∴tan=tan=.答案:C5.若,则sin αcos α=　　　　　. 解析:∵,∴,即.∴cosα-sinα=.∴两边平方,得1-2sinαcosα=,即sinαcosα=.答案:6.已知α∈,sin,则tan α=　　　　　. 解析:因为0<α<,所以<α+.又因为sin,所以cos.所以tan.所以tanα=tan.答案:7.已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间上的值域为[0,3],求m的取值范围.解:(1)f(x)=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=2sin+1,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin+1.由x∈,知2x+.要使得f(x)在区间上的值域为[0,3],即y=sin在区间上的值域为.故≤2m+,即≤m≤.8.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=10米,记∠BHE=θ.(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.解:(1)由题意可得EH=,FH=,且θ为锐角,故EF=.∵BE=10tanθ≤10,AF=≤10,∴≤tanθ≤.∴θ∈.∴L=,θ∈,即L=10×,θ∈.(2)设sinθ+cosθ=t,则sinθcosθ=.∵θ∈,∴t=sinθ+cosθ=sin.∴L=.∵L=在区间上单调递减,∴当t=,即θ=或θ=时,L取得最大值为20(+1)米.