高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列及其前n项和课时规范练含解析文北师大版

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第五章　数列第二节　等差数列及其前n项和课时规范练A组——基础对点练1．等差数列{an}中，a1＝1，an＝100(n≥3)．若{an}的公差为某一自然数，则n的所有可能取值为(　　)A．3，7，9，15，100　　　　 B．4，10，12，34，100C．5，11，16，30，100  D．4，10，13，43，100解析：由等差数列的通项公式得，公差d＝＝.又因为d∈N，n≥3，所以n－1可能为3，9，11，33，99，n的所有可能取值为4，10，12，34，100，故选B.答案：B2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5  B．7C．9  D．11解析：∵{an}是等差数列，∴a1＋a5＝2a3，即a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故选A.答案：A3．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝(　　)A．－1  B．0C.   D.解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又∵a2a4＝，数列{an}单调递增，∴a2＝，a4＝.∴公差d＝＝.∴a1＝a2－d＝0.答案：B4．(2020·广东六校第一次联考)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5＝2S4，a2＋a4＝8，则a5＝(　　)A．6  B．7C．8  D．10解析：因为S5＝2S4，所以a5＝S4＝S5.因为a1＋a5＝a2＋a4＝8，所以S5＝＝＝20，所以a5＝S5＝×20＝10，故选D.答案：D5．(2020·四省八校联考)在公差不为0的等差数列{an}中，4a3＋a11－3a5＝10，则a4＝(　　)A．－1  B．0C．1  D．2解析：法一：设数列{an}的公差为d(d≠0)，由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a1＋2d)＋(a1＋10d)－3(a1＋4d)＝10，即2a1＋6d＝10，即a1＋3d＝5，故a4＝5，所以a4＝1，故选C.法二：设数列{an}的公差为d(d≠0)，因为an＝am＋(n－m)d，所以由4a3＋a11－3a5＝10，得4(a4－d)＋(a4＋7d)－3(a4＋d)＝10，整理得a4＝5，所以a4＝1，故选C.法三：由等差数列的性质，得2a7＋3a3－3a5＝10，所以4a5＋a3－3a5＝10，即a5＋a3＝10，则2a4＝10，即a4＝5，所以a4＝1，故选C.答案：C6．(2020·唐山市高三摸底考试)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a11＝4，则S13＝(　　)A．13  B．26C．39  D．52解析：由等差数列的性质可知，a1＋a13＝a3＋a11＝4，∴S13＝＝26，故选B.答案：B7．(2020·广东百校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1≠0，S2＝a4，则＝(　　)A．1   B.C.   D.解析：设等差数列{an}的公差为d，由S2＝a4，得2a1＋d＝a1＋3d，所以a1＝2d，所以＝＝＝.答案：B8．已知{an}是等差数列，a1＝9，S5＝S9，那么使其前n项和Sn最大的n是(　　)A．6  B．7C．8  D．9解析：因为a1＞0，S5＝S9，所以公差小于零，数列{an}的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为x＝7，故n＝7时，Sn最大．答案：B9．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a1，则＝1 010，故a1＝5.答案：510．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于__________．解析：∵{an}是等差数列，∴2an＝an－1＋an＋1，又∵an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.∴S2n－1＝(2n－1)an＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：10B组——素养提升练11．(2020·银川模拟)在等差数列{an}中，已知a3＝7，a6＝16，依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵，则此数阵中，第10行从左到右的第5个数是________．解析：由题知公差d＝＝＝3，所以an＝7＋(n－3)d＝3n－2，第10行从左到右的第5个数是原等差数列中第1＋2＋…＋9＋5＝50项，即为a50＝3×50－2＝148.答案：14812．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．解析：因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.所以当n＝8时，其前n项和最大．答案：813．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(n∈N＋，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(n∈N＋)．(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：∵bn＝，且an＝，∴bn＋1＝＝＝，∴bn＋1－bn＝－＝2.又∵b1＝＝1，∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝，∴an＝＝.∴数列{an}的通项公式为an＝.14．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N＋)．(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn.解析：(1)∵数列{an}是等差数列，∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－.(2)由题意知，①当n为奇数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×＝.②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝1＋9＋…＋(4n－7)＝.综上，Sn＝