高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.2 基本不等式同步达标检测题

课后素养落实(十一)　基本不等式的应用

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)

A．2 B．a 

C． D．3

D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥

2＋1＝3.]

2．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)

A．最大值为0 B．最小值为0

C．最大值为－4 D．最小值为－4

C　[∵x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．]

3．已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)

A．3 B．4 

C．5 D．6

B　[由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．]

4．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是(　　)

A．18 B．16 

C．8 D．10

A　[x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立．]

5．(多选题)已知a>0，b>0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的可能取值为(　　)

A．8 B．7 

C．6 D．5

CD　[由已知，可得6＝1，

∴2a＋b＝6×(2a＋b)

＝6≥6×(5＋4)＝54，

当且仅当＝时，即a＝b＝18等号成立，

∴9m≤54，即m≤6，故选CD.]

二、填空题

6．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为________．

25　[(1＋x)(1＋y)≤2

＝2＝2＝25，

因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，

(1＋x)(1＋y)取最大值25.]

7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．

2　[C＝＝.

因为t>0，所以t＋≥2＝4

.

所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，

即t＝2时，C取得最大值．]

8．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.

56　[设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.

由题意，得y＝(x＋4)－72

＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．

当且仅当x＝，即x＝12 dm时等号成立．]

三、解答题

9．已知a>b>0，求a2＋的最小值．

[解]　∵a>b>0，所以b(a－b)≤2＝，

∴a2＋≥a2＋≥16.

当且仅当即时取等号．

故a2＋的最小值为16.

10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)

[解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得

y＝2x－＝118－

＝118－

＝130－

≤130－2＝130－112＝18(千元)，

当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．

所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．

1．(多选题)已知不等式(x＋my)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数m的值可以是(　　)

A．3 B．4 

C．5 D．6

BCD　[因为x>0，y>0，m>0，

所以(x＋my)·＝1＋m＋＋≥1＋m＋2.

因为(x＋my)≥9对任意正实数x，y恒成立．

所以1＋m＋2≥9，解得≥2.即m≥4.]

2．若a>0，b>0,3a＋b＝1，则＋的最小值为(　　)

A．8 B．7 

C．6 D．5

A　[∵a>0，b>0,3a＋b＝1，

∴＋＝＋＝3＋＋＋1≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，

∴＋的最小值为8.]

3．当3<x<12时，函数y＝的最大值为________．

3　[y＝＝

＝－＋15≤－2＋15＝3，

当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3.]

4．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．最大为________万元．

5　2　[∵y＝－x2＋12x－25，

∴年平均利润为＝

＝－＋12≤－2＋12＝2，

当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立．]

某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？

[解]　设2021年该产品利润为y，

由题意，可知当m＝0时，x＝1，

∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，

又每件产品的销售价格为1.5×万元，

∴y＝x－(8＋16x＋m)

＝4＋8x－m＝4＋8－m

＝－＋29，

∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，

当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，

∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.

故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．