苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式本章综合与测试课后测评

章末综合测评(三)　不等式

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式成立的是(　　)

A．a2>b2 B．ac2<bc2

C．a＋c>b＋c D．<

C　[∵1>－2，但是<不成立，故D不正确；∵－1>－2，但是(－1)2>(－2)2不成立，故A不正确；

∵a>b，∴a＋c>b＋c，C正确；c＝0时，0＝ac2<bc2＝0，不成立，故B不正确．]

2．不等式＞1的解集是(　　)

A．{x|x＜－2} B．{x|－2＜x＜1}

C．{x|x＜1} D．{x|x∈R}

A　[＞1可化为－1＞0，

整理可得＞0，即x＋2＜0，

解得x＜－2，解集为{x|x＜－2}．]

3．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)

A．A≥B B．A>B

C．A<B D．A≤B

B　[∵a，b都是正实数，且a≠b，

∴A＝＋>2＝2，即A>2，

B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2

＝－(x－2)2＋2≤2，

即B≤2，∴A>B.]

4．不等式|x|(1－2x)>0的解集为(　　)

A．(－∞，0)∪ B．

C． D．

A　[当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以0<x<；当x<0时，原不等式即为－x(1－2x)>0，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪，故选A.]

5．已知＋＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为(　　)

A．1 B．2

C．4 D．8

D　[∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.]

6．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x2＋bx＋a<0的解集为(　　)

A. B．

C. D．

A　[由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．

由根与系数的关系得

⇒

∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1<0.

解得－1<x<.]

7．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3

C．a＞2 D．－2＜a＜2

C　[原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，

即解得a＞2.]

8．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)

A．5 km处 B．4 km处

C．3 km处 D．2 km处

A　[设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝，∴费用之和为y＝y1＋y2＝＋x≥2＝8，当且仅当＝，即x＝5时取等号．]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．已知0＜a＜b，且a＋b＝4，则(　　)

A．b>2

B．存在a，b，使得(a＋1)(b＋1)＝9

C. 0<a<2

D．a2＋b2>8

ACD　[由0＜a＜b，且a＋b＝4得a<4－a，b>4－b，所以0<a<2，b>2，所以A、C正确，因为≥2，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，所以D正确；又a＋b＝4，所以ab<2，所以(a＋1)(b＋1)＝a＋b＋ab＋1<9，所以B错误；故选ACD.]

10．若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是(　　)

A．ab有最大值

B．＋有最小值

C．＋有最小值4

D．a2＋b2有最小值

AC　[∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＋a＋b≥1＋2，所以≤，∴ab≤，A正确.＋≥2，＋的最小值不是.B错误.＋＝＝≥4，∴＋有最小值4.∴C正确．a2＋b2≥2ab,2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，D错误．]

11．若不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集是[－3,4]的子集，则实数a的取值可能是(　　)

A．－3 B．2 

C．－5 D．5

AB　[关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0化为(x－1)(x－a)<0，

其解集是[－3,4]的子集．

当a＝1时，不等式(x－1)2<0，其解集为空集，符合题意．

当1<a≤4时，不等式的解集为{x|1<x<a}符合题意．

当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}应满足a≥－3.

当a>4时，不等式的解集为{x|1<x<a}此时不满足．

综上，实数a的取值范围为[－3,4]．]

12．设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　)

A．a＋b有最小值2(＋1)

B．a＋b有最大值(＋1)2

C．ab有最大值3＋2

D．ab有最小值3＋2

AD　[∵a>1，b>1，∴a＋b≥2，当a＝b时取等号．

∴1＝ab－(a＋b)≤ab－2，解得≥＋1，∴ab≥(＋1)2＝3＋2，

∴ab有最小值3＋2.

∵ab≤2，当a＝b时取等号．

∴1＝ab－(a＋b)≤2－(a＋b)，∴(a＋b)2－4(a＋b)≥4，

[(a＋b)－2]2≥8，解得a＋b－2≥2，即a＋b≥2(＋1)，

∴a＋b有最小值2(＋1)．]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．

　[方程x2－ax－b＝0的根为2,3.根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6.所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得不等式的解集为.]

14．已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立．则实数m的取值范围为________．

(－4,2)　[∵x>0，y>0.∴＋≥8(当且仅当＝时取“＝”)，若＋>m2＋2m恒成立．则m2＋2m<8，解之得－4<m<2.]

15．设实数a，b，c满足a>b>c，则y＝(a－c)·的最小值为________．

9　[∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，y＝(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]

＝5＋＋≥9，当且仅当b－c＝2(a－b)，等号成立，

所以y＝(a－c)的最小值为9.]

16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为________元，每天获得的利润最多为________元．(本题第一空2分，第二空3分)

60　2 500　[设销售价格定为每件x(50＜x≤80)元，每天获得利润y元，则

y＝(x－50)·P＝，

设x－50＝t，则0＜t≤30，

所以y＝＝＝≤＝2 500，

当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)解下列不等式(组)：

(1)

(2)6－2x≤x2－3x<18.

[解]　(1)原不等式组可化为即0<x<1，所以原不等式组的解集为{x|0<x<1}．

(2)原不等式等价于

即

因式分解，得

所以

所以－3<x≤－2或3≤x<6.

所以原不等式的解集为{x|－3<x≤－2或3≤x<6}．

18．(本小题满分12分)已知∀x∈R，ax2＋2ax＋1≥0.

(1)求a的取值范围；

(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.

[解]　(1)因为∀x∈R，ax2＋2ax＋1≥0.

①当a＝0时，1≥0恒成立；

②当a≠0时，则

解得0<a≤1.

综上，a的取值范围为[0,1]．

(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0.

因为0≤a≤1，

所以①当1－a>a，

即0≤a<时，

a<x<1－a；

②当1－a＝a，即a＝时，2<0，不等式无解；

③当1－a<a，即<a≤1时，

1－a<x<a.

综上所述，当0≤a<时，解集为(a,1－a)；

当a＝时，解集为∅；

当<a≤1时，解集为(1－a，a)．

19．(本小题满分12分)(1)已知a，b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值；

(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：＋＋≥10.

[解]　(1)∵2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1.

又∵a>0，b>0，

∴a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即a＝2b时，等号成立．

由得

∴当a＝12，b＝6时，a＋b取得最小值18.

(2)证明：＋＋

＝＋＋

＝4＋＋＋

≥4＋2＋2＋2＝10，

当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

∴＋＋≥10.

20．(本小题满分12分)已知某工厂生产某产品的总成本y与年产量x之间的关系为y＝ax2＋2 000，且当年产量是50时，总成本为4 000.

(1)设该产品年产量为x时平均成本为t，求t关于x的表达式；

(2)求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．

[解]　(1)将x＝50，y＝4 000代入y＝ax2＋2 000中，

可得502a＋2 000＝4 000，从而a＝，于是y＝x2＋2 000.

因此t＝＝x＋(x>0)．

(2)因为t＝x＋≥2＝80，

当且仅当x＝，即x＝50时，上述等号成立．因此，当年产量为50时，平均成本最小，且最小值为80.

21．(本小题满分12分)如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空间的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？

[解]　设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，

则ab＝9 000.①

广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a>0，b>0.

广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)

＝2ab＋40b＋25a＋500＝18 500＋25a＋40b

≥18 500＋2＝18 500＋2＝24 500.

当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入①式得a＝120，从而b＝75.

即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24 500  cm2.

故广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使矩形广告的面积最小．

22．(本小题满分12分)已知函数y＝(x≠a，a为非零常数)．

(1)解不等式<x；

(2)设x>a时，y＝有最小值为6，求a的值．

[解]　(1)∵<x，

整理得(ax＋3)(x－a)<0.

当a>0时，(x－a)<0,

解集为；

当a<0时，(x－a)>0，

解集为.

(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，

∴y＝

＝t＋＋2a

≥2＋2a＝2＋2a.

当且仅当t＝，

即t＝时，等号成立，

即y有最小值2＋2a.

依题意有2＋2a＝6，

解得a＝1.