数学必修 第一册5.4 函数的奇偶性课时作业

课后素养落实(二十三)　函数的奇偶性

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是(　　)

A．y＝x3 B．y＝|x|＋1

C．y＝x2＋1 D．y＝－

BC　[对于函数y＝|x|＋1，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，所以y＝|x|＋1是偶函数，当x>0时，y＝x＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y＝x3不是偶函数，y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－不是偶函数．]

2．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是(　　)

A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3

C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3

B　[若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]

3．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是(　　)

A．f(－0.5)<f(0)<f(－1)

B．f(－1)<f(－0.5)<f(0)

C．f(0)<f(－0.5)<f(－1)

D．f(－1)<f(0)<f(－0.5)

C　[∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(－0.5)<f(－1)，故选C.]

4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的单调增区间为(　　)

A．[1，＋∞) B．[－1,0]

C．[－1，＋∞) D．[－1,0]和[1，＋∞)

D　[偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1,0]和[1，

＋∞)．]

5．已知偶函数f(x)在区间　[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)<f(1)的x取值范围是(　　)

A．(－1,0) B．(0,1)

C．(1,2) D．(－1,1)

B　[首先函数定义域是R，再者根据f(2x－1)<f(1)和偶函数f(x)在区间[0，

＋∞)上单调递增，可得|2x－1|<1，解得0<x<1，故选B.]

二、填空题

6．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.

4　[f(x)＝x2＋(a－4)x－4a是偶函数，∴a＝4.]

7．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.

1　[∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，

∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.

∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．

∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.

∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.]

8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2为偶函数，则m＝______.f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．

0　f(－2)<f(1)<f(0)　[∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立．即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立．∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)．]

三、解答题

9．判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝3，x∈R；

(2)f(x)＝5x4－4x2＋7，x∈[－3,3]；

(3)f(x)＝|2x－1|－|2x＋1|；

(4)f(x)＝

(5)f(x)＝ln(－x)．

[解]　(1)∵f(－x)＝3＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(2)∵x∈[－3,3]，f(－x)＝5(－x)4－4(－x)2＋7＝5x4－4x2＋7＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

(3)∵f(－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

(4)当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，

∴f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，∴f(－x)＝－f(x)；

当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，∴f(－x)＝－f(x)；

当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.

综上，对任意x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为R上的奇函数．

(5)因为对于任意x∈R，－x>|x|－x≥0，所以函数f(x)的定义域为R，

又f(－x)＝ln(＋x)＝ln

＝－ln(－x)＝－f(x)，

所以函数f(x)是奇函数．

10．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.

(1)试求f(x)在R上的解析式；

(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．

[解]　(1)因为函数f(x)的图象关于原点对称，

所以f(x)为奇函数，则f(0)＝0.

设x<0，则－x>0，

因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.

所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.

于是有f(x)＝

(2)先画出函数在y轴右侧的图象，再根据对称性画出y轴左侧的图象，如图．

由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．

1．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)

A．f(x)g(x)是奇函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

AC　[∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选AC.]

2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)

C　[∵f(x)为奇函数，<0，

即<0，

∵f(x)在(0，＋∞)上为减函数且f(1)＝0，

∴当x>1时，f(x)<0.

∵奇函数图象关于原点对称，

∴在(－∞，0)上f(x)为减函数且f(－1)＝0，

即x<－1时，f(x)>0.

综上使<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]

3．已知y＝f(x)＋x2是奇函数且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.

－1　[∵y＝f(x)＋x2是奇函数，

∴f(－x)＋(－x)2＝－f(x)－x2，

∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0，∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.

∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.

∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.]

4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是________．

1　(0,2)　[由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范围为(0,2)．]

已知f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2.若当x∈[1,3]时，n≤f(x)≤m恒成立，求m－n的最小值．

[解]　当x＜0时，f(x)＝x2＋3x＋2＝2－，

∴当x∈[－3，－1]时，f(x)min＝f ＝－，f(x)max＝f(－3)＝2.

又∵函数为奇函数，∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，，

∴m的最小值为，n的最大值为－2，

∴(m－n)min＝－(－2)＝，即m－n的最小值为.