数学第5章 函数概念与性质本章综合与测试一课一练

章末综合测评(五)　函数概念与性质

 (满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列各组函数中，表示同一个函数的是(　　)

A．y＝x－1和y＝

B．y＝x0和y＝1

C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2

D．f(x)＝和g(x)＝

D　[A、B中两函数的定义域不同；C中两函数的解析式不同．]

2．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)

A．[－1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)

C．[－1,0)∪(0，＋∞) D．R

C　[要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.]

3．已知f(x)＝则f 的值是(　　)

A．－ B． 

C． D．－

C　[f ＝－1＝－，f ＝－＋1＝.]

4．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋mx＋1，且f(1)＝－2，则实数m的值为(　　)

A．－4 B．0 

C．4 D．2

B　[因为函数y＝f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，由当x<0时，f(x)＝x2＋mx＋1，f(1)＝－2，所以2－m＝2，从而m＝0，应选B.]

5．函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D　[∵y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，

∴y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，

由f(a)≤f(2)，得f(|a|)≤f(2)．

∴|a|≥2，得a≤－2或a≥2.]

6．函数f(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f(5)＝10，则f(－5)等于(　　)

A．－10 B．－2 

C．－6 D．14

B　[∵f(5)＝125a＋5b＋4＝10，

∴125a＋5b＝6，

∴f(－5)＝－125a－5b＋4

＝－(125a＋5b)＋4

＝－6＋4＝－2.]

7．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c(a≠0)在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0] B．[2，＋∞)

C．[0,2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)

C　[二次函数的对称轴为x＝1.由二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，可知a>0，故该函数图象的开口向上，且f(0)＝f(2)．当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.]

8．已知函数y＝f(x)的定义域为∪，且f(x＋1)为奇函数，当x<1时，f(x)＝－x2－2x，则函数y＝f(x)－的所有零点之和等于(　　)

A．4 B．5 

C．6 D．12

A　[因为f(x＋1)为奇函数，所以图象关于对称，

所以函数y＝f(x)的图象关于对称，即f＋f＝0.

当x<1时，f(x)＝－x2－2x，

所以当x>1时，f(x)＝x2－6x＋8.

当－x2－2x＝时，可得x1＋x2＝－2，

当x2－6x＋8＝时，可得x3＋x4＝6，

所以函数y＝f(x)－的所有零点之和为6－2＝4，故选A.]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．对于定义在R上的函数f(x)，下列判断错误的有(　　)

A．若f(－2)>f(2)，则函数f(x)是R上的单调增函数

B．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数

C．若f(0)＝0，则函数f(x)是奇函数

D．函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则f(x)是R上的单调增函数

ACD　[对于A，列举反例f(x)＝(x－2)2，A错误；对于B，若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)，即原命题的逆否命题为真，所以B正确；对于C，列举反例f(x)＝|x|，C错误；对于D，列举反例f(x)＝，所以D错误；故选ACD.]

10．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值可能是(　　)

A．1 B．2 

C．－1 D．4

ABD　[y＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2由已知得，

a≤2或a≥3.]

11．下列命题为真命题的是(　　)

A．函数y＝|x－1|既是偶函数又在区间[1，＋∞)上是增函数

B．函数f(x)＝＋的最小值为2

C．“x＝2”是“x－2＝”的充要条件

D．∃x∈R，<x＋1

CD　[y＝|x－1|当x＝1时，y＝0，当x＝－1时，y＝2，所以y＝|x－1|不是偶函数，选项A错误；令t＝∈[3，＋∞)，g(x)＝t＋.根据对勾函数的单调性可得，g(t)在[3，＋∞)是增函数，g(t)的最小值为，即f(x)的最小值为，选项B错误；x－2＝≥0,2－x≥0，∴x＝2，选项C正确；当x＝1时，<x＋1成立，选项D正确．故选CD.]

12．已知定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(－x)＝f(x)；②∀x1，x2∈(0，＋∞)，当x1≠x2时，都有>0；③f(－1)＝0.则下列选项成立的是(　　)

A．f(3)>f(－4)

B．若f(m－1)<f(2)，则m∈(－∞，3)

C．若>0，x∈(－1,0)∪(1，＋∞)

D．∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M

CD　[由条件①得f(x)是偶函数，条件②得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(3)<f(4)＝f(－4)，故A错；

若f(m－1)<f(2)，则|m－1|<2，得－1<m<3，故B错；

若>0，则或

因为f(－1)＝f(1)＝0，

所以x>1或－1<x<0，故C正确；

因为定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(x)min＝f(0)，所以对∀x∈R，只需M≤f(0)即可，故D正确；故选CD.]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是________．

(2,3)∪(3，＋∞)　[由题意，得解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(2,3)∪(3，＋∞)．

14．函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为________．

[1,2]　[函数f(x)＝x2－2x＋3在x＝1处取得最小值为2，在x＝0处取得最大值3，结合函数图象(略)可知实数a的取值范围为[1,2]．]

15．已知函数f(x)＝，那么f(f(3))＝______；若存在实数a，使得f(a)＝f(f(a))，则a 的个数是_________．(本题第一空2分，第二空3分)

1　4　[f(f(3))＝f(－1)＝1；令f(a)＝t，即满足f(t)＝t，

①t＝1，即a＝±1时，经检验，均满足题意；

②t<1，即－1<a<1或a>1时，f(t)＝t2，由t＝t2，解得t ＝0或1(舍去)；再由t＝f(a)＝0解得a＝0或2；

③t>1，即a<－1时，f(t)＝2－t，由t＝2－t，解得t＝1(舍去)；综上所述：共有4个a.]

16．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f 与f 的大小关系是____________．

f ≥f 　[因为a2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，

又因为f(x)在[0，＋∞)上是减函数，

所以f ≤f ＝f .]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(1)求函数f(x)＝x－2，x∈{0,2,5，－1}的最大值与最小值；

(2)已知函数y＝f(x)(－1≤x≤4)的图象如图所示．根据函数图象回答：当y取得最大值时，对应的自变量是多少？函数的最小值是多少？

[解]　(1)∵f(0)＝－2，f(2)＝0，f(5)＝3，f(－1)＝－3，

∴f(－1)<f(0)<f(2)<f(5)，

∴f(x)＝x－2的最大值为f(5)＝3，最小值为f(－1)＝－3.

(2)由图象可知函数的最高点的横坐标为4，此时对应的自变量为4；最小值是图象的最低点，其纵坐标为－2，即最小值为－2.

18．(本小题满分12分)(1)求函数f(x)＝ln(4－2x)＋(x－1)0＋的定义域(要求用区间表示)；

(2)若函数f(x＋1)＝x2－2x，求f(3)的值和f(x)的解析式．

[解]　(1)要使函数有意义，需有

解得x<2且x≠1且x≠－1.

所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,2)．

(2)因为f(x＋1)＝x2－2x，所以令x＝2，得f(3)＝22－2×2＝0.

用配凑法求函数解析式：∵f(x＋1)＝x2－2x，

∴f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，

故f(x)＝x2－4x＋3，(x∈R)．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，x∈[3,5]．

(1)确定f(x)的单调性；

(2)求f(x)的最大值和最小值．

[解]　(1)f(x)＝＝＝2－.

设3≤x1<x2≤5，

则f(x1)－f(x2)＝2－－2＋＝<0，即f(x1)<f(x2)．

∴f(x)在[3,5]上单调递增．

(2)∵f(x)在[3,5]上单调递增，

∴f(x)max＝f(5)＝，f(x)min＝f(3)＝.

20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2.

(1)若函数的图象经过原点，且满足f(2)＝0，求实数m的值；

(2)若函数在区间[2，＋∞)上为增函数，求m的取值范围．

[解]　(1)∵f(0)＝0，f(2)＝0，

∴

∴m＝1.

(2)∵y＝f(x)在[2，＋∞)上为增函数，

∴对称轴x＝－≤2，∴m≥0，

∴实数m的取值范围是[0，＋∞)．

21．(本小题满分12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12 km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12 km以上温度一定，保持在－55 ℃.

(1)当地球表面大气的温度是a ℃时，在x km的上空为y ℃，求a、x、y间的函数关系式；

(2)问当地表的温度是29 ℃时，3 km上空的温度是多少？

[解]　(1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k<0)，即y＝a＋kx.

依题意，当x＝12时，y＝－55，

∴－55＝a＋12k，

解得k＝－.

∴当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)(0≤x≤12)．

又当x>12时，y＝－55.

∴所求的函数关系式为

y＝

(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8，

即3 km上空的温度为8 ℃.

22．(本小题满分12分)已知二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)的最大值为2.

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)求函数y＝f(x)在[t，t＋1](t＞0)上的最大值．

[解]　(1)因为二次函数y＝f(x)满足f(－2)＝f(4)＝－16，且f(x)的最大值为2，

故函数图象的对称轴为x＝1，

设函数f(x)＝a(x－1)2＋2，a＜0.

根据f(－2)＝9a＋2＝－16，

求得a＝－2，

故f(x)＝－2(x－1)2＋2＝－2x2＋4x.

(2)当t≥1时，函数f(x)在[t，t＋1]上是减函数，

故最大值为f(t)＝－2t2＋4t；

当0＜t＜1时，函数f(x)在[t,1]上是增函数，在[1，t＋1]上是减函数，

故函数的最大值为f(1)＝2.

综上，f(x)max＝