数学必修 第一册6.1 幂函数课时作业

课后素养落实(二十四)　幂函数

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)下列命题中正确的是(　　)

A．幂函数的图象不可能是一条直线

B．幂函数y＝xn，当n>0时是增函数

C．幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x的增大而减小

D．幂函数的图象不可能在第四象限

CD　[当n＝1时，y＝xn图象为一条直线，幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时是增函数，x∈(－∞，0)时为减函数，CD正确．]

2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为(　　)

A．1 B．2 

C．3 D．4

B　[使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3.]

3．已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)为单调增函数，则实数m的值为

(　　)

A. B．±2 

C．2 D．－2

D　[因为函数f(x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f(x)在(0，＋∞)为单调增函数，所以－m>0，因此m＝－2，选D.]

4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f ＝(　　)

A．16 B．4 

C． D．

D　[因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2⇒3α＝2，所以f ＝

α＝2＝.]

5．如图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为(　　)

A．－2，－，，2

B．2，，－，－2

C．－，－2,2，

D．2，，－2，－

B　[要确定一个幂函数y＝xα在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y＝xα随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y＝xα的图象在直线x＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x＝1右侧的图象，由高向低依次为C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指数α依次为2，，－，－2.]

二、填空题

6．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________．

1　[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，

解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]

7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，则m与n的大小关系为________．

m<n　[设f(x)＝x－1，已知a≠0，

则a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

则f(a2＋3)<f(3)，即(a2＋3)－1<3－1，

故m<n.]

8．若幂函数y＝x(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．

①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1.

③　[由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③.]

三、解答题

9．比较下列各组数的大小：

(1)3和3.1；

(2)8和(－9)；

(3)，和.

[解]　(1)构造函数f(x)＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数．∵3<3.1，

∴3<3.1.

(2)构造f(x)＝x，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，

所以(－9)＝9.

∵8<9，∴8>9，∴ 8>(－9).

(3)构造函数y＝x，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，则＝>＝>0.

函数y＝x，此函数在R上是增函数，

则<0<0，

故<<.

10．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．

[解]　(1)若函数f(x)为正比例函数，则

∴m＝1.

(2)若函数f(x)为反比例函数，则

∴m＝－1.

(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±.

1．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m等于(　　)

A．1 B．2 

C．1或2 D．3

B　[因为f(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是减函数，

所以m－3<0.

所以m<3.

又因为m∈N*，

所以m＝1,2.

又因为f(x)＝xm－3是奇函数，所以m－3为奇数，所以m＝2.]

2．函数y＝x在[－1,1]上是(　　)

A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数

C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数

A　[由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝x<0，当x>0时，y＝x>0，所以y＝x在[－1,1]上是增函数．故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]

3．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f ＝________，函数f 的定义域为________．

　(0,1]　[令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，

故f(x)＝x＝，∴f ＝.

令－1≥0解得0<x≤1，

故f 的定义域为(0,1]．]

4．若(a＋1)<(3－2a)，则a的取值范围是________．

　[(a＋1)<(3－2a)⇔<，函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数，

所以解得<a<.]

已知幂函数y＝f(x)经过点.

(1)试求函数解析式；

(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；

(3)试解关于x的不等式f(3x＋2)＋f(2x－4)>0.

[解]　(1)设f(x)＝xα，由题意，

得f(2)＝2α＝⇒α＝－3，

故函数解析式为f(x)＝x－3.

(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，故该幂函数为奇函数．

其单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．

(3)由(2)得f(3x＋2)>－f(2x－4)＝f(4－2x)．

即

或

或

解得－<x<或x>2，

故原不等式的解集为

.