2021学年6.3 对数函数第2课时课时练习

课后素养落实(二十八)　对数函数的图象与性质的应用

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若函数f(x)＝loga x(0<a<1)在区间[a,3a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于(　　)

A． B．

C． D．

B　[∵a∈(0,1)，∴f(x)max＝loga a＝1，f(x)min＝loga 3a，

由题知loga 3a＝，∴a＝＝.]

2．函数f(x)＝loga |x|＋1(0<a<1)的图象大致为(　　)

A　[将g(x)＝loga x的图象不动，并将之关于y轴对称到y轴左侧，再上移1个单位，即得f(x)的图象．]

3．函数f(x)＝的值域为(　　)

A．(－∞，0) B．(－∞，2)

C．(－∞，2] D．(2，＋∞)

B　[x≥1时，f(x)≤0，

x<1时，0<f(x)<2，故f(x)的值域为(－∞，2)．]

4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是单调递增，设a＝f(log47)，b＝f(log23)，c＝f(0.20.6)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c<b<a B．b<c<a

C．b<a<c D．a<b<c

C　[偶函数f(x)在(－∞，0]上是单调递增，则在(0，＋∞)上是单调递减．又∵log47＝log2，0<0.20.6<1<log2<log23，∴b<a<c.]

5．(多选题)已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值可能为(　　)

A． B．

C． D．3

ACD　[由题意得

解得2<a≤3.]

二、填空题

6．若函数f(x)＝logax(其中a为常数，且a>0，a≠1)满足f(2)>f(3)，则f(2x－1)<f(2－x)的解集是________．

{x|1<x<2}　[∵f(2)>f(3)，

∴f(x)＝logax是减函数，

由f(2x－1)<f(2－x)，得∴

∴1<x<2.]

7．函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间是________．

(2,3)　[由－3＋4x－x2>0得x2－4x＋3<0得1<x<3，

设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.

∵y＝t为减函数，

∴要求函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间，

即求函数t＝－3＋4x－x2,1<x<3的单调递减区间，

∵函数t＝－3＋4x－x2,1<x<3的单调递减区间是(2,3)，

∴函数y＝(－3＋4x－x2)的单调递增区间为(2,3)．]

8．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的定义域为________，值域为________．

(－1,4)　[－2，＋∞)　[由－x2＋3x＋4>0得－1<x<4，所以定义域为(－1,4)，

又－x2＋3x＋4＝－2＋≤，

∴0<－x2＋3x＋4≤，

由复合函数的性质得log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4＝－2，

∴原函数的值域为[－2，＋∞)．]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝log2.

(1)判断函数的奇偶性；

(2)求函数的单调区间．

[解]　(1)要使函数有意义，

则有或

解得x>1或x<－1.

所以此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

所以函数的定义域关于原点对称．

f(－x)＝log2＝log2

＝－log2＝－f(x)．

所以f(x)为奇函数．

(2)设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，

则－

＝<0，

所以<，

所以log2<log2，即f(x2)<f(x1)．

所以f(x)在(1，＋∞)上为减函数．

同理，f(x)在(－∞，－1)上也是减函数．

故f(x)＝log2的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．

10．求函数f(x)＝log2(4x)·，x∈的值域．

[解]　f(x)＝log2(4x)·

＝(log2x＋2)·

＝－[(log2x)2＋log2x－2]．

设log2x＝t.

∵x∈，∴t∈[－1,2]，

则有y＝－(t2＋t－2)，t∈[－1,2]，

因此二次函数图象的对称轴为t＝－，

∴函数y＝－(t2＋t－2)在上是增函数，在上是减函数，

∴当t＝－时，有最大值，且ymax＝.

当t＝2时，有最小值，且ymin＝－2.

∴f(x)的值域为.

1．(多选题)若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的可能取值为

(　　)

A． B．2

C． D．

ABC　[函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1<a<3.故选ABC.]

2．(多选题)下列函数中既是定义域上的偶函数，又是 (0，＋∞)上的增函数的是(　　)

A．y＝ B．y＝x

C．y＝|ln x| D．y＝e

BD　[函数y＝定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是定义域上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时， y＝为减函数，故不合题意；函数y＝x＝，定义域为R，是定义域上的偶函数， 当x∈(0，＋∞)时， y＝x为增函数；函数y＝定义域为(0，＋∞)不关于原点对称，不是定义域上的偶函数，不合题意；函数y＝e定义域为R，是定义域上的偶函数， 当x∈(0，＋∞)时， y＝ex为增函数. 应选BD.]

3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2 a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．

　[∵f(log2a)＋f(a)＝f(log2 a)＋f(－log2a)＝2f(log2 a)≤2f(1)，

∴f(log2 a)≤f(1)，由f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，

∴－1≤log2 a≤1，即log2 ≤log2 a≤log2 2，

∴≤a≤2.]

4．函数y＝(x)2－(x)＋5在区间[2,4]上的最大值为________，最小值为__________．

10　　[∵2≤x≤4，则由y＝x在区间[2,4]上为减函数知，2≥ x≥4，

即－2≤x≤－1.

若设t＝x，则－2≤t≤－1，且y＝t2－t＋5.

而y＝t2－t＋5的图象的对称轴为t＝，且在区间上为减函数，

而[－2，－1]，所以当t＝－2，即x＝4时，此函数取得最大值，最大值为10；

当t＝－1，即x＝2时，此函数取得最小值，最小值为.]

已知函数f(x)＝的图象关于原点对称，其中a为常数．

(1)求a的值；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，

∴函数f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

即＝－＝，

解得a＝－1或a＝1(舍)．

所以a＝－1.

(2)f(x)＋(x－1)＝＋(x－1)

＝(1＋x)，当x＞1时，(1＋x)＜－1.

∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋(x－1)＜m恒成立，

∴m≥－1.

即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．