高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念课后作业题

课后素养落实(三十)　弧度制

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．1 920°转化为弧度数为(　　)

A． B． 

C． D．

D　[1 920°＝5×360°＋120°＝ rad＝ rad.]

2．下列各角中与－终边相同的是(　　)

A．－ B． 

C． D．

C　[∵－＝－6π＋.∴－与终边相同．]

3．已知扇形的弧长是4 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)

A．1 B．2

C．4 D．1或4

C　[因为扇形的弧长为4，面积为2，

所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1，

则扇形的圆心角的弧度数为＝4.故选C.]

4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是

(　　)

A　　　　 B　　 　　C　　　　D

C　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.]

5．(多选题)下列表示中正确的是(　　)

A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}

B．终边在y轴上角的集合是

C．终边在坐标轴上角的集合是

D．终边在直线y＝x上角的集合是

ABC　[对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；

对于B，终边在y轴上的角的集合是，故B正确；

对于C，终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，

故合在一起即为∪＝，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是，故D不正确．]

二、填空题

6．已知角α的终边与的终边相同，在[0,2π)内终边与角角的终边相同的角为________．

，π，π　[由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，

故＝＋(k∈Z)，

又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，

有＝，π，π满足题意．]

7．已知角2α的终边在第一象限，则角α的取值集合用弧度制表示为________．

　[因为角2α的终边在第一象限，

所以2kπ<2α<2kπ＋，k∈Z，

所以kπ<α<kπ＋，k∈Z，

所以.]

8．已知扇形OAB的圆心角为π，周长为5π＋14，则扇形OAB的面积为________．

　[设扇形的半径为r，圆心角为π，

∴弧长l＝πr，

∵扇形的周长为5π＋14，∴πr＋2r＝5π＋14，

解得r＝7，由扇形的面积公式得扇形OAB的面积＝×π×r2＝×π×49＝.]

三、解答题

9．已知角α＝2 010°.

(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限的角；

(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．

[解]　(1)2 010°＝2 010×＝＝5×2π＋，

又π<<，∴α与终边相同，是第三象限的角．

(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，

又－5π≤γ<0，

∴当k＝－3时，γ＝－π；

当k＝－2时，γ＝－π；

当k＝－1时，γ＝－π.

故在[－5π，0]内与α终边相同的角有－，－，－.

10．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．

[解]　(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为.

(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为.

(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为.

(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.

1．已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)

A．　 B．　　　

C．　 D．π

B　[设从动轮N逆时针旋转θ，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B.]

2．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为(　　)

A． B．π 

C． D．

A　[如图，连接AO，OB.

因为∠ACB＝，所以∠AOB＝，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为·r＝.]

3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅(1470～1523)的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为________cm2.

704　[如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：解得：r＝，

所以，S＝S扇形OCD－S扇形OAB＝×64×－×24×＝704 cm2.]

4．已知一扇形的圆心角为 rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．

2∶3　[设扇形内切圆的半径为r，

∵扇形的圆心角为，半径为R，

∴S扇形＝×R2＝R2.

∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，

∴R＝r＋2r＝3r，∴r＝.

∵S内切圆＝πr2＝R2，

∴S内切圆∶S扇形＝R2∶R2＝2∶3.]

如图所示，已知一长为 dm，宽为1 dm的长方体木块在桌上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．

[解]　 所在的圆半径是2 dm，圆心角为；所在的圆半径是1 dm，圆心角为；所在的圆半径是 dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝(dm)．

三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2)．