高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念第2课时课后复习题

课后素养落实(三十七)　正弦、余弦函数的图象与性质

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的可能取值为

(　　)

A．－   B．－

C．0   D．

ABC　[y＝cos x在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈[－π，0]．故选ABC.]

2．下列关系式中正确的是(　　)

A．sin 11°<cos 10°<sin 168°

B．sin 168°<sin 11°<cos 10°

C．sin 11°<sin 168°<cos 10°

D．sin 168°<cos 10°<sin 11°

C　[由诱导公式，得cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，由正弦函数y＝sin x在[0°，90°]上是单调递增的，所以sin 11°<sin 12°<sin 80°，

即sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.]

3．函数f(x)＝2sin，x∈[－π，0]的单调递增区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

解得2kπ－≤x≤2kπ＋π，k∈Z，

又－π≤x≤0，∴－≤x≤0，

故选D.]

4．当－≤x≤时，函数f(x)＝2sin 有(　　)

A．最大值为1，最小值为－1

B．最大值为1，最小值为－

C．最大值为2，最小值为－2

D．最大值为2，最小值为－1

D　[因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，所以－≤sin ≤1，所以－1≤2sin ≤2，

即f(x)的最大值为2，最小值为－1.]

5．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[因为当0≤ωx≤时，函数f(x)是增函数，

当≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，

即当0≤x≤时，函数f(x)为增函数，

当≤x≤时，函数f(x)为减函数，

所以＝，所以ω＝.]

二、填空题

6．函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合是________．

　[当－＝2kπ＋，即x＝4kπ＋，k∈Z时ymax

＝1，所以函数y＝sin 取最大值时自变量的取值集合为.]

7．函数f(x)＝3sin 在区间上的值域为________．

　[由0≤x≤，得0≤2x≤π，于是－≤2x－≤，所以－≤sin ≤1，

即－≤3sin ≤3.]

8．y＝的定义域为________，单调递增区间为________．

[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)　(k∈Z)　[由题意知sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．

∵当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增，

∴其递增区间为(k∈Z)．]

三、解答题

9．求下列函数的单调递增区间．

(1)y＝sin ，x∈[0，π]；

(2)y＝sin x.

[解]　(1)由y＝－sin 的单调性，

得＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，

即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.令k＝0则≤x≤.

又x∈[0，π]，故≤x≤π.

即单调递增区间为.

(2)由sin x>0，得

2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，

∴函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．设u＝sin x，则0<u≤1，又y＝u是减函数，

∴函数的值域为(0，＋∞)．

∵<1，∴函数y＝sin x的递增区间即为u＝sin x(sin x>0)的递减区间．故函数y＝sin x的递增区间为.

10．设函数f(x)＝sin，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．

[解]　(1)最小正周期T＝＝π，

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．

(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，

∴当t＝，即x＝时，

ymin＝×＝－1，

当t＝，即x＝时，ymax＝×1＝.

1．(多选题)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的最小正周期为2π

B．函数f(x)在区间上是增函数

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称

D．函数f(x)是奇函数

ABC　[∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，即A正确．y＝cos x在上是减函数，则y＝－cos x在上是增函数，即B正确．由图象知y＝－cos x的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cos x为偶函数，即D不正确．]

2．函数f(x)＝sin ＋cos 的最大值为(　　)

A.   B．1

C.  D.

A　[∵＋＝，

∴f(x)＝ sin ＋cos

＝sin ＋cos

＝sin ＋sin

＝sin ≤，

∴f(x)max＝.]

3．函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的最小值为________，最大值为________．

－　　[令t＝cos x，x∈，∴t∈，

y＝3t2－4t＋1＝32－.

∵y＝32－在t∈上单调递减．

∴ymax＝32－＝，ymin＝32－＝－.]

4．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．

　[由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋≤x≤＋，

∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

根据题意，得⊆，从而有解得0＜ω≤.

故ω的取值范围是.]

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cos β)的大小关系．

[解]　由f(x＋1)＝－f(x)，

得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．

因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，

所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．

又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，

即＞α＞－β＞0，

因为y＝sin x在上为增函数，

所以sin α＞sin＝cos β，

且sin α∈[0,1]，cos β∈[0,1]，

所以f(sin α)＞f(cos β)．