2020-2021学年7.2 三角函数概念课后测评

课后素养落实(三十九) 函数y＝Asin(ωx＋φ)

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)

A　　　　　　　　　　 B

C　　　　　　　　　　 D

A　[当x＝π时，y＝sin＝－排除B、D.

当x＝时，y＝sin 0＝0，排除C，故选A.]

2．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象可以由函数y＝sin 2x的图象(　　)

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

A　[由已知得＝π，故ω＝2，所以f(x)＝sin＝sin2，所以函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度可以得到函数f(x)的图象．]

3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝(　　)

A．－   B．

C．－   D．

D　[由题图可知T＝4×＝π，故ω＝2，又f ＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ＋，又|φ|<，∴φ＝.]

4．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f ＝f ＝－f ，则f(x)的最小正周期为(　　)

A．            B． 

C．π   D．

C　[∵f ＝f ，∴x＝＝为函数f(x)的图象的一条对称轴．

∵f ＝－f ，f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)图象的一条对称轴，且与x＝相邻，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.]

5．(多选题)点P是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋m的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)的最小正周期是2π

B．f(x)的值域为[1,3]

C．f(x)的初相为

D．f(x)在上单调递增

ABD　[由题意，且函数的最小正周期为T＝4×＝2π，故ω＝＝1.代入①式得φ＝kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin＋2.故函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[1,3]，初相为，故AB正确，C错误.由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ知函数的单调增区间为，k∈Z，当k＝1时单调增区间为，又⊆，故选ABD．]

二、填空题

6．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是________．

y＝sin　[y＝siny＝siny＝sin＝sin.]

7．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f ＝－，则f(0)＝_______.

　[由图象可得最小正周期为π，于是f(0)＝f ，注意到π与关于对称，

所以f ＝－f ＝.]

8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________；φ＝________.

2　－　[T＝－＝，

∴T＝＝π，∴ω＝2.

当x＝时，2×＋φ＝，∴φ＝－.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝sin(x∈R)．

(1)求f(x)的单调减区间；

(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)

[解]　(1)由已知函数化为y＝－sin.

欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，

∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．

(2)f(x)＝sin＝cos

＝cos＝cos 2.

∵y＝cos 2x是偶函数，图象关于y轴对称，

∴只需把y＝f(x)的图象向右平移个单位长度即可．

10．已知函数f(x)＝3sin的图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ值；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．

[解]　(1)∵x＝是f(x)的图象的一条对称轴，

∴sin＝±1，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.

∵0＜φ＜，∴φ＝.

(2)由(1)知y＝3sin.

由题意得2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，

即4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，

∴函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－(k∈Z)，

故该函数的对称中心为(k∈Z)．

1．(多选题)将函数f(x)＝3sin x的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的(　　)

A．周期是π

B．增区间是 (k∈Z)

C．图象关于点对称

D．图象关于直线x＝对称

ABC　[将函数f(x)＝3sin x的图象先向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝3sin ，对于选项A，函数g(x)的周期为＝π，即A正确；对于选项B，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋，即函数g(x)的增区间是(k∈Z)，即B正确；

对于选项C，令2x－＝kπ，解得：x＝＋，即函数g(x)的对称中心为，即C正确；

对于选项D，令2x－＝kπ＋，则x＝＋，即函数g(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，即选项D错误．综上可得选项A，B，C正确，故选ABC.]

2．(多选题)关于f(x)＝4sin(x∈R)，下列命题正确的是(　　)

A．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍

B．y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos

C．y＝f(x)图象关于点对称

D．y＝f(x)图象关于直线＝－对称

BC　[对于A，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．

∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，

∴A错误；对于B，由f(x)＝4sin可得f(x)＝4cos＝4cos，∴B正确；对于C，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，

∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴C正确；

对于D，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

∴x＝＋(k∈Z)．∴D错误．]

3．若ω>0，函数y＝cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．

　[将函数y＝cos 的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝cos 的图象．因为所得函数图象与函数y＝sin ωx的图象重合，所以－＋＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值.]

4．将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sin的图象，则f(x)＝________，单调递增区间为________．

2sin－1　(k∈Z)　[将y＝2sin的图象向左平移个单位长度，得函数y＝2sin＝2sin的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sin－1的图象，即f(x)＝2sin－1.由－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ得－≤x≤－π(k∈Z)．]

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式及x0的值；

(2)求f(x)的单调增区间；

(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．

[解]　(1)由题意作出f(x)的简图如图．

由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，

∴4π＝，即ω＝，

∴f(x)＝2sin，

∴f(0)＝2sin φ＝1，

又∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.

∵f(x0)＝2sin＝2，

∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.

∴x0＝4kπ＋，k∈Z，

又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，

∴x0＝.

(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，

∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

(3)∵－π≤x≤π，

∴－≤x＋≤，

∴－≤sin≤1，

∴－≤f(x)≤2，

故当x∈[－π，π]时，f(x)的值域为[－，2]．