高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.2 三角函数概念第2课时课时作业

课后素养落实(三十四)　三角函数的诱导公式(五～六)

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若α∈，则＝(　　)

A．sin α   B．－sin α

C．cos α   D．－cos α

B　[∵sin＝－cos α，

又∵α∈，∴＝＝|sin α|＝－sin α.]

2．已知cos(75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则cos(15°－α)＝(　　)

A．   B．－

C．   D．－

D　[因为cos(75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，

所以sin(75°＋α)＝－，

故cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－.]

3．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)

A.   B.

C．－   D．－

B　[sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)

＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)

＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°

＝＝.]

4．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝(　　)

A．89   B．90 

C．    D．45

C　[∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋＝.]

5．已知α∈，cos＝，则tan＝(　　)

A．   B．－

C．或－   D．或－

B　[由cos＝，得sin α＝－.又0<α<，∴π<α<，

∴cos α＝－＝－，∴tan α＝，

因此tan＝tan(－α)＝－tan α＝－.]

二、填空题

6．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．

1　[∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，

∴sin(45°－A)＝cos(45°＋A)，

∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cos2(45°＋A)，

∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1.]

7．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．

－sin2 α　[原式＝·(－sin α)·cos(－α)＝·(－sin α)·cos α＝－sin2 α.]

8．在△ABC中，sin＝3sin(π－A)，且cos A＝－cos(π－B)，则C＝________.

　[由已知得cos A＝3sin A，∴tan A＝，

又∵A∈(0，π)，∴A＝.

又cos A＝－(－cos B)＝cos B，

由cos A＝知cos B＝，∴B＝，

∴C＝π－(A＋B)＝.]

三、解答题

9．已知cos＝2sin，

求的值．

[解]　∵cos＝2sin，

∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，

∴

＝

＝＝

＝＝

＝＝＝－.

10．是否存在这样的△ABC, 使等式sin (2π－A)－cos ＝0，cos (3π＋B)＋sin ＝0同时成立？若存在，求出A，B的值；若不存在，请说明理由．

[解]　假设存在这样的△ABC满足条件．

由已知条件可得

由①2＋②2，得sin2A＋3cos2A＝2.

所以cos2A＝，因为A∈(0，π)，所以cos  A＝±.

由②知A，B只能为锐角，

所以A＝.由②式知cos  B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.

所以存在这样的△ABC，A＝，B＝满足条件．

1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于(　　)

A．2   B．－2

C．2－   D．－2

C　[由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cos α，2sin α)，所以根据诱导公式及α为锐角可知，所以α＝2－.故选C. ]

2．已知cos＝－，α是第二象限角，则sin＝(　　)

A．－   B． 

C．－   D．

C　[∵cos＝－sin α＝－，∴sin α＝.

又α是第二象限角，

∴cos α＝－，

∴sin＝sin＝sin

＝cos α＝－.]

3．已知＝2，则sin(θ－5π)·sin＝________，＝________.

　　[∵＝2，sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝3.

sin(θ－5π)·sin＝sin θcos θ

＝＝＝.

＝＝＝＝＝.]

4．已知sin  α＋cos  α＝－，则tan＋的值为________．

－2　[因为sin  α＋cos  α＝－，所以(sin  α＋cos  α)2＝2，所以sin  αcos  α＝.

所以tan＋＝＋＝＋

＝－－＝－＝－2.]

是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝－cos与cos(－α)＝－sin同时成立？

[解]　存在．所需成立的两个等式可化为sin α＝sin β，cos α＝cos β，

两式两边分别平方相加得：

sin2α＋3cos2α＝2，

得2cos2α＝1，

所以cos2α＝.

又因为α∈，所以α＝或－.

当α＝时，由cos α＝cos β，得cos β＝，

又β∈(0，π)，所以β＝；

当α＝－时，由sin α＝sin β，得sin β＝－，

而β∈(0，π)，所以无解．

综上得，存在α＝，β＝使两等式同时成立．