高中数学7.4 三角函数应用一课一练

这是一份高中数学7.4 三角函数应用一课一练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(四十)　三角函数应用 (建议用时：40分钟)一、选择题1．交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin 来表示，则最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为(　　)A. s   B. sC. s   D. sB　[最大电压值第一次出现与第二次出现的时间间隔为一个周期，T＝ s＝ s．]2．(多选题)如图所示，为一质点做简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　)A．该简谐运动的振动周期为0.8 sB．该简谐运动的振幅为5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大D．该质点在0.3 s和0.7 s时振动速度为零AB　[由图象知，振幅为5 cm，＝(0.7－0.3)s＝0.4 s，故T＝0.8 s，故A正确；该质点在0.1 s和0.5 s离开平衡位置最远，而不能说振动速度最大，故C错误；该质点在0.3 s和0.7 s时正好回到平衡位置，而不是振动速度为零，故D错误．]3．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)A．ω＝，A＝3   B．ω＝，A＝3C．ω＝，A＝5   D．ω＝，A＝5A　[由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.T＝15，则ω＝.故选A.]4．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　)　A　　　　B　　　　C　　　 　DA　[当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.]5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．4   B．6  C．8   D．10C　[由图象知周期T＝12，最低点的坐标为(9,2)，代入得×9＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝0，当x＝6＋＝15时，y最大，列式得＝3sin＋k，∴＝3sin＋k，∴k＝5，∴＝k，ymax＝8.]二、填空题6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.20.5　[由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.]7．如图，某地一天从6 h到14 h的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω>0,0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．y＝10sin＋20，x∈[6,14]　[由图象可知B＝20，A＝＝10，＝14－6＝8，T＝16＝，解得ω＝.将(6,10)代入y＝10sin＋20可得sin＝－1，由0≤φ<2π可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．]8．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数关系式为________，该函数的单调递增区间为________．y＝sin　[0,1]，[7,12]　[由题意可知，y＝sin(ωt＋φ)．又t＝0时，A，∴φ＝，又由T＝12可知，ω＝＝，∴y＝sin.令2kπ－≤t＋≤2kπ＋，k∈Z，解得12k－5≤t≤12k＋1，k∈Z，∵0≤t≤12，∴令k＝0,1，得0≤t≤1或7≤t≤12，故动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．]三、解答题9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？[解]　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin＋20＝15，可得sin＝－.而x∈[4,16]，所以x＝.令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4,16]，所以x＝.故该细菌的存活时间为－＝小时．10．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量．[解]　(1)动物种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则解得A＝100，b＝800.又周期T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝＝，∴y＝100sin＋800.又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin＋800，∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴取φ＝－，∴y＝100sin＋800.(2)当t＝2时，y＝100sin＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750. 1．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)A　 　　　B　　 　  C　　　　DC　[令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin ＝，∴d＝2sin ＝2sin ，即d＝f(l)＝2sin (0≤l≤2π)，它的图象为C.]2．(多选题)如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有(　　)A．经过3分钟，点P首次到达最低点B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低D．摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米ABD　[以O为原点，过O且平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，⊙O为摩天轮，P为圆上的动点，设P到地面的高为h.由题设有P，故h＝40sin＋45＝40cos t＋45，其中t≥0.对于A，令h＝5，则cos t＝－1，解得t＝6k＋3，k∈N，故点P首次到达最低点所需的时间为3分钟，故A正确．对于B，当t＝4时，h1＝40cos ＋45，当t＝8时，h2＝40cos ＋45，因为cos ＝cos ＝－，故h1＝h2，故B正确．对于C，当7≤t≤10，≤t≤，而3π<<<且y＝cos u在是单调递增的，故h＝40cos t＋45在[7,10]上是单调递增函数，故C错．对于D，考虑0≤t≤6时不等式40cos t＋45≥65的解，故cos t≥，解得0≤t≤1或5≤t≤6，故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故D正确．故选ABD.]3．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．y＝2sin　[由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝π，所以y＝2sin，将点(0.1,2)代入y＝2sin中，得sin＝1，所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，令k＝0，得φ＝，所以y＝2sin.]4．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．　[因为Asin＋60＝80，sin≤1，所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，即sin＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.]在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h，低潮时水的深度为8.4 m，高潮时为16 m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0，|φ|<)．(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?[解]　(1)依题意知T＝＝12，故ω＝，h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sin＋12.2.又因为t＝4时，d＝16，所以sin＝1，所以φ＝－，所以d＝3.8sin＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sin＋12.2＝3.8sin ＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin＋12.2<10.3，即sin<－，因此2kπ＋<t－<2kπ＋(k∈Z)，所以2kπ＋<t<2kπ＋2π(k∈Z)，所以12k＋8<t<12k＋12.令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．故这一天共有8 h水深低于10.3 m.