高中数学苏教版 (2019)必修 第一册7.2 三角函数概念复习练习题

章末综合测评(七)　三角函数

 (满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列函数中，最小正周期为π的函数是(　　)

A．y＝sin x   B．y＝cos x

C．y＝sin   D．y＝cos

D　[正、余弦函数的周期为T＝，故选D.]

2．已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为

(　　)

A． cm2   B．π cm2 

C．2π cm2   D．4π cm2

C　[弧长为π的弧所对的圆心角为，

所以r＝＝4(cm)，

所以扇形面积为S＝lr＝×π×4＝2π(cm2)．]

3．已知点 P(3,4) 在角α的终边上，则cos的值为(　　)

A．   B．－ 

C．   D．－

D　[因为点 P(3,4) 在角α的终边上，所以|OP|＝＝5，cos＝－sin α＝－，故选D.]

4．代数式sin(－330°)cos 390°的值为(　　)

A．－   B． 

C．－   D．

B　[sin(－330°)·cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝×＝.]

5．已知tan＝，则tan＝(　　)

A．   B．－ 

C．   D．－

B　[tan＝tan

＝－tan＝－.]

6．设A是△ABC的一个内角，且sin A＋cos A＝，则这个三角形是(　　)

A．锐角三角形   B．钝角三角形

C．等边三角形   D．等腰直角三角形

B　[将sin A＋cos A＝两边平方得

sin2A＋2sin Acos A＋cos2A＝，

故sin Acos A＝－.因为0＜A＜π，

所以sin A＞0，cos A＜0，即A是钝角．]

7．如图，单摆离开平衡位置O的位移s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝6sin，则单摆在摆动时，从开始到第一次回到平衡位置所需要的时间为(　　)

A. s   B. s

C. s   D.1 s

C　[由题意得，s＝0, 即6sin＝0(t>0)，所以2πt＋＝kπ(k∈N*)，t＝－(k∈N*)，所以t的最小正值为 s ，故选C.]

8．设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　　)

A．a>c>b   B．c>b>a

C．c>a>b   D．b>c>a

A　[sin ＝sin＝－sin ＝sin ＝cos ，

cos ＝cos＝cos＝cos ，

∵y＝cos x在上是减函数，

∴cos >cos >cos ，

即a>c>b.]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．若α是第二象限的角，则下列各式中一定成立的是(　　)

A.tan α＝－

B.＝sin α－cos α

C．cos α＝－

D.＝sin α＋cos α

BC　[由同角三角函数的基本关系式，知tan α＝，故A错；因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0，sin α＋cos α的符号不确定，所以＝＝sin α－cos α，故B、C正确，D错. 故选BC.]

10．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于g(x)说法错误的是(　　)

A．最大值为1，图象关于直线x＝对称

B．在上单调递减，为奇函数

C．在上单调递增，为偶函数

D．周期是π，图象关于点对称

BCD　[∵将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)＝sin＝cos 2x的图象，

关于g(x)，显然它是偶函数，最大值为1，周期为＝π，故B不正确；

由于当x＝时，g(x)＝1，为最大值，故g(x)的图象关于直线x＝对称，故A正确；

由于在上，2x∈，g(x)没有单调性，故C错误；

由于当x＝时，g(x)＝－≠0，故g(x)的图象不关于点对称，故D不正确．]

11．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)

A．sin β＝   B．cos(π＋β)＝

C．tan β＝   D．tan β＝

AC　[∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，

∴sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.

A中sin β＝sin＝cos α＝±，故A符合条件；

B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－，故B不符合条件；

C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±， 即C符合条件；

D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．故选AC.]

12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象经过点，且在区间上单调，则 ω , φ 可能的取值为(　　)

A．ω＝2，φ＝－   B．ω＝2，φ＝－

C．ω＝6，φ＝   D．ω＝6，φ＝

BC　[对于A，f(x)＝sin，f ＝sin＝sin ＝1，图象不过点，不合题意；

对于B, f(x)＝sin，f＝sin＝sin ＝，图象过点，

令2x－∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，

所以f(x)＝sin在区间上单调递增；

对于C, f(x)＝sin，f ＝sin＝sin＝，图象过点，

令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，

令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，

所以f(x)＝sin在区间上单调递减；

对于D，f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝，图象过点，

令6x＋∈(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，

当k＝1，x∈，

所以f(x)＝sin在区间上不是单调函数，不合题意. 故选BC.]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则tan α＝________.

－　[因为sin α＋cos α＝①，

两边平方得1＋2sin αcos α＝，

所以2sin αcos α＝－，因为α∈(0，π)，所以sin α>0，cos α<0，

所以sin α－cos α＝＝＝＝②，

联立①②得sin α＝，cos α＝－，所以tan α＝－.]

14．已知tan α＝2，则＝________.

　[

＝

＝

＝

＝.]

15．已知函数y＝asin ＋b在x∈上的值域为[－5,1]，则a＋b的值为________．

1或－5　[由题意知a≠0.∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈.

当a＞0时，解得

当a＜0时，解得

综上，a＝4，b＝－3或a＝－4，b＝－1.

所以a＋b＝1或－5.]

16．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝_______，f ＝________.(本题第一空2分，第二空3分)

3　0　[由图象知T＝π，

∴T＝，A＝2，

又∵T＝，∴ω＝3，将点代入y＝2sin(3x＋φ)得：sin＝0，取φ＝－π，

∴f(x)＝2sin，

∴f ＝2sin＝2sin π＝0.]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sin α＋cos α的值；

(2)已知角α终边上一点P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．

[解]　(1)∵r＝＝5，

∴sin α＝＝－，cos α＝＝，

∴2sin α＋cos α＝－＋＝－.

(2)当点P在第一象限时，

sin α＝，cos α＝，2sin α＋cos α＝2；

当点P在第二象限时，

sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；

当点P在第三象限时，

sin α＝－，cos α＝－，2sin α＋cos α＝－2；

当点P在第四象限时，sin α＝－，cos α＝，2sin α＋cos α＝－.

18．(本小题满分12分)已知

f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若α是第三象限的角，且cos＝，求f(α)的值．

[解]　(1)f(α)＝

＝

＝－cos α.

(2)因为cos＝－sin α，

所以sin α＝－.

又α是第三象限的角，

所以cos α＝－＝－.

所以f(α)＝.

19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

[解]　(1)因为x＝是函数y＝f(x)图象的对称轴．

所以sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

得φ＝kπ＋(k∈Z)．

又因为－π<φ<0，所以φ＝－.

(2)由(1)知φ＝－，则f(x)＝sin.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)＝sin的单调增区间为(k∈Z)．

20．(本小题满分12分)如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：

(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；

(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

[解]　(1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式，由已知，可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.所以y＝40.5－40cost(t≥0)．

(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cost0，得cost0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或8.所以t＝8分钟时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．

21．(本小题满分12分)已知f(x)＝2sin(0<ω<1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求tan的值．

[解]　(1)由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，

所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，

解得ω＝k＋(k∈Z)，

又0<ω<1，所以ω＝，

所以f(x)＝2sin.

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为

(k∈Z)．

(2)由题意可得g(x)＝2sin，

即g(x)＝2cos ，

由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝.

又α∈，故<α＋<.

所以sin＝，

所以tan＝＝.

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一系列对应值如下表：

(1)根据表格提供的数据求出函数f(x)的一个解析式；

(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

[解]　(1)设f(x)的最小正周期为T，得T＝－＝2π.由T＝，得ω＝1.

又解得

令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z.

又|φ|＜，解得φ＝－，

∴f(x)＝2sin＋1.

(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，∴k＝3.

令t＝3x－，

∵x∈，∴t∈.

如图，sin t＝s在上有两个不同的解的条件是s∈，∴方程f(kx)＝m在x∈时恰有两个不同的解的条件是m∈[＋1，3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．