高中7.4 三角函数应用课后复习题

课后素养落实(四十一)　函数的零点

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)

A．2   B．－2 

C．±2   D．3

C　[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，

所以b＝±2.]

2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1，＋∞)   B．

C．   D．

B　[由f(x)＝2x－，得

f ＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，

∴f ·f(1)<0.

∴零点所在区间为.]

3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A．，0   B．－2,0

C．   D．0

D　[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]

4．若函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：

则函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．4个

B　[由表得f(1)f(2)<0，f(4)f(5)<0，

因为函数的图象是连续不断的，

所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，

所以函数y＝f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有两个．]

5．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)

A．a<b<c   B．c<b<a

C．c<a<b   D．b<a<c

A　[在同一直角坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图象，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a<b<c，故选A.

]

二、填空题

6．函数f(x)＝零点的个数为________．

2　[x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3，x＝1(舍去)，

∴f(x)在(－∞，0]上有一个零点；x＞0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，

f(1)＝－2＜0，f(e3)＝1＞0.

∵f(1)·f(e3)＜0，∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．

综上，f(x)在R上有2个零点．]

7．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.

2　[令f(x)＝ln x＋x－4，

且f(x)在(0，＋∞)上递增，

∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，

∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]

8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＝________，n＝________.

　                 图(1)　　　　　　　　图(2)

7　3　[由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f ＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点．即n＝3.]

三、解答题

9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．

[解]　法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．

在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．

由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．

法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，

∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.

(1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

[解]　(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，

∵y＝f(x)是奇函数，

∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，

∴f(x)＝

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；

当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.

∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，

根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．

1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)

A．－1和   B．1和－

C．和   D．－和

B　[∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，

∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，

∴g(x)的零点为1和－，故选B.]

2．(多选题)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值可能是(　　)

A．－1   B．1 

C．－2   D．2

ABD　[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，

由图可知，－a≤1，解得a≥－1.]

3．已知函数f(x)＝|lg x|－a，a>0有两个零点x1，x2，则x1＋x2的取值范围是________．

(2，＋∞)　[设函数f(x)＝|lg x|－a，a>0有两个零点x1，x2，且0<x1<1<x2，∴x1＋x2＝10－a＋10a>2，即x1＋x2的取值范围是(2，＋∞)．]

4．已知函数f(x)＝其中k≥0.

(1)若k＝2，则f(x)的最小值为________；

(2)若关于x的函数y＝f(f(x))有两个不同零点，则实数k的取值范围是________．

(1)－1　(2)[0,1)　[(1)当x<0时，f(x)＝－x＋2在区间(－∞，0)上单调递减，则f(x)>2；

当x≥0时，f(x)＝x2－1在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(x)≥f(0)＝－1.

则f(x)的最小值为－1.

(2)令f(x)＝t，则y＝f(t)．

当k∈[0,1)时，函数f(x)的图象如图①所示．

图①

则f(t)＝0⇒t＝1，则函数f(x)的图象与直线y＝1有两个交点，则k∈[0,1)满足题意．

当k∈[1，＋∞)时，函数f(x)的图象如图②所示．

图②

则f(t)＝0⇒t＝1，则函数f(x)的图象与直线y＝1只有一个交点，则k∈[1，

＋∞)不满足题意．

综上，k∈[0,1)．]

已知函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1.

(1)若函数f(x)在x∈上有最大值－8，求实数a的值；

(2)若函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

[解]　(1)由题知f(x)＝4x－a·2x＋1＋1＝(2x)2－2a·2x＋1，因为x∈，

所以令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a，

当a≤时，f(t)max＝f(4)＝17－8a＝－8，解得a＝(舍)，

当a>时，f(t)max＝f(1)＝2－2a＝－8，解得a＝5，

所以a＝5.

(2)由(1)知f(x)＝(2x)2－2a·2x＋1，令t＝2x∈，f＝t2－2at＋1，对称轴为t＝a.

因为函数f(x)在x∈上有且只有一个零点，

所以f ＝t2－2at＋1的图象在上与x轴只有一个交点，

所以解得a＝1，

或者f ·f ≤0，即≤0，整理解得≤a≤，

当a＝时，f ＝t2－2at＋1与x轴有两个交点，故舍，

综上，<a≤或a＝1.