高中数学7.4 三角函数应用同步测试题

课后素养落实(四十三) 几个函数模型的比较

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(多选题)当a>1时，其中正确的结论是(　　)

A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值的增长越快

B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值的增长越快

C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值的增长越快

D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值的增长越快

AD　[结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．]

2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有(　　)

A．y1>y2>y3　　　　　　B．y2>y1>y3

C．y1>y3>y2  D．y2>y3>y1

B　[在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]

3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是(　　)

A．y＝0.2x   B．y＝(x2＋2x)

C．y＝   D．y＝0.2＋log16x

C　[将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算可知较为近似的是y＝.]

4．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

C　[小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.]

5．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：

对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)

A．y＝2x－2   B．y＝x

C．y＝log2x   D．y＝(x2－1)

D　[法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5,3.5,4.5,6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.

法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.]

二、填空题

6．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .

y＝x2　[当x变大时，x比ln x增长要快，

∴x2要比xln x增长的要快．]

7．三个变量y1，y2，y3随变量x的变化情况如表：

其中关于x呈对数函数型变化的变量是________，呈指数函数型变化的变量是________，呈幂函数型变化的变量是________．

y3　y2　y1　[根据三种模型的变化特点，观察表中数据可知，y2随着x的增大而迅速增加，呈指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但变化缓慢，呈对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，呈幂函数型变化．]

8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．

A　　　　　B　　　　C　　　  　D

(1)　　　　(2)　　　(3)　 　　(4)

(4)　(1)　(3)　(2)　[A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．]

三、解答题

9．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．

[解]　由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.

由题图知，

当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；

当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；

当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；

当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；

当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；

当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；

当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．

10．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系．

Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.

利用你选取的函数，回答下列问题：

(1)求西红柿种植成本最低时的上市天数；

(2)求最低种植成本．

[解]　根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上．

(1)函数图象的对称轴方程为t＝－＝＝120，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.

(2)将表格中的数据代入Q＝at2＋bt＋c，

得解得

所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，

所以最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg)．

1．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

 　　           A　　　　B　　 　　C　　　　D

D　[设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中的图象，故选D.]

2．(多选题)某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，给出的下列说法正确的是(　　)

A．此指数函数的底数为2

B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2

C．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月

D．设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3

ABD　[易知该指数函数的解析式为f(x)＝2x，所以A正确；当x＝5时，f(5)＝32>30，所以B正确；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C错误；设2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，则t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正确．]

3．若已知16<x<20，利用图象可判断出x和log2x的大小关系为________．

x>log2x　[作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的图象，如图所示：

由图象可知，在(0,4)内，x>log2x；

x＝4或x＝16时，x＝log2x；

在(4,16)内，x<log2x；在(16,20)内，x>log2x.]

4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．

1.75　[∵y＝a·0.5x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得

∴y＝－2×0.5x＋2.

当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．]

某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，③指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？

[解]　将已知前四个月的月产量y与月份x的关系记为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．

①对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，将B，C两点的坐标代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，

解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.

所以f(1)＝1.1，与实际误差为0.1，f(4)＝1.4，与实际误差为0.03.

②对于二次函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，将A，B，C三点的坐标代入，得

解得

故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，

所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，

与实际误差为0.07，

③对于指数型函数m(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)，将A，B，C三点的坐标代入，得

解得

故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，

所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.

比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．