苏教版 (2019)必修 第一册7.4 三角函数应用同步练习题

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册7.4 三角函数应用同步练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(八)　函数应用
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B　[要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.]
2．函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
D　[∵函数y1＝log2x在区间(0，＋∞)上为增函数，函数y2＝3x－4为增函数，
所以，函数f(x)＝log2x＋3x－4在区间(0，＋∞)上为增函数，则该函数最多有一个零点，
又f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，
因此，函数f(x)＝log2x＋3x－4的零点所在的一个区间是(1,2)．故选D.]
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的.经过x年，剩留的物质是原来的，则x为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
B　[先求剩留量y随时间x(年)变化的函数关系式，设物质最初的质量为1，则经过1年，y＝1×＝，经过2年，y＝×＝2，…，那么经过x年，则y＝x.依题意得x＝，解得x＝3.]
4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．

时间
1
2
3
4
利润(千元)
2
3.98
8.01
15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　)
A．y＝log2x B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
B　[画出散点图(图略)，由散点图可知，这种空调的函数模型为y＝2x.]
5．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
D　[设函数f(x)＝log3x－(5－x)，
因为f(3)＝1－2＝－1<0，f(4)＝log34－1>0，
所以f(3)·f(4)<0，由零点存在定理可知函数f(x)在区间(3,4)上至少存在一个零点，
故方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3,4)．]
6．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(0,1]
D　[作出函数f(x)的图象，由图象知，当0 7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
每户每月用水量
水价
不超过12 m3的部分
3元/m3
超过12 m3但不超过18 m3的部分
6元/m3
超过18 m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为(　　)
A．20 m3 B．18 m3
C．15 m3 D．14 m3
C　[设此户居民本月用水量为x m3，缴纳的水费为y元，
则当x∈[0,12]时，y＝3x≤36元，不符合题意；
当x∈(12,18]时，y＝12×3＋(x－12)·6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意；
当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)·9＝9x－90>72，不符合题意．
综上所述：此户居民本月用水量为15 m3.故选C.]
8．加工爆米花时，爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)

A．3.50分钟 B．3.75分钟
C．4.00分钟 D．4.25分钟
B　[由图形可知，三点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上，
所以 ，解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.22＋，因为t>0，所以当t＝＝3.75时，p取最大值，
故此时的t＝3.75分钟为最佳加工时间，故选B.]

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点，叙述错误的是(　　)
A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点
B．函数f(x)必有一个零点是正数
C．当a<0时，函数f(x)有两个零点
D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点
ACD　[f(x)＝0⇔ex＝a＋，在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，

可观察出A、C、D选项错误，应选ACD.]
10．设a为实数，则直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数可以是
(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
ABC　[因为函数y＝x4＋1为定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，且函数的最小值为1，所以当a<1，a＝1，a>1时，直线y＝a和函数y＝x4＋1的图象的公共点个数分别为0,1,2.故选ABC.]
11．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　)
A．2023年 B．2024年
C．2025年 D．2026年
CD　[设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，
则投入的资金为y＝5 000×(1＋20%)n，
由题意可得：y＝5 000×(1＋20%)n>12 800，
即1.2n>2.56，
∴nlg 1.2>lg 2.56＝lg 28－2，
∴n>≈≈5.16，
∵n∈Z，∴n≥6，
即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元，故选CD.]
12．已知f(x)＝，当a∈M时，总存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则集合M可以是(　　)
A．(－∞，0] B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0,1)
BC　[要使得g(x)＝f(x)－b有两个零点，
即f(x)＝b有两个根，必须有y＝f(x)与y＝b的图象有两个交点，
由x3＝x2可得，x＝0或x＝1.
①当a>1时，函数y＝f(x)的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a>1满足题意．

②当a＝1时，由于函数y＝f(x)在定义域R上单调递增，故不符合题意．
③当0
④当a＝0时，函数y＝f(x)单调递增，故不符合题意．
⑤当a<0时，函数y＝f(x)的图象如图所示，此时存在b使得y＝f(x)与y＝b有两个交点．

综上可得a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．所以应选BC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝x＋2x－10的零点所在区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n＝________.
2　[因为f(2)＝2＋4－10＝－4<0，f(3)＝3＋8－10＝1>0, 所以f(2)f(3)<0，
由函数零点存在定理知函数f(x)＝x＋2x－10在区间(2,3)上有零点，所以n＝2.]
14．用二分法研究函数f(x)＝x3＋ln 的零点时，第一次经计算f(0)<0，
f >0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．(本题第一空2分，第二空3分)
　f 　[由于f(0)<0，f >0，
故f(x)在上存在零点，所以x0∈，
第二次应计算0和在数轴上对应的中点x1＝＝.]
15．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x0]等于________．
2　[∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2.]
16．已知函数f(x)＝ 其中a>0，且a≠1，若函数y＝f(x)－1有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1＋x2＋x3>0，则实数a的取值范围是________．
　[如图所示：当a>1时，函数y＝f －1有2个不同的零点，不满足；

当0－2.
ax－1＝1，故x＝loga2>－2，故0 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.
[证明]　令g(x)＝f(x)－x.
∵g(0)＝，g＝f －＝－，
∴g(0)·g<0.又函数g(x)在上连续，
∴存在x0∈，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.
18．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2 020x＋log2 020x，试确定f(x)在R上的零点个数．
[解]　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
因为log2 020＝－2,2 020≈1，log2 020＝－1,2 020>1，∴f ＜0，f ＞0，
∴f(x)＝2 020x＋log2 020x在区间内存在零点．
易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知函数f(x)在R上的零点个数为3.
19．(本小题满分12分)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．
(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．
[解]　(1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．
③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．
综上，s＝
它的图象如图(1)所示．

　 (1)　　　　　　　　(2)
(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝它的图象如图(2)所示．
20．(本小题满分12分)某电脑公司生产A型手提电脑，2016年平均每台A型手提电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2017年开始，公司加强管理，降低生产成本.2020年平均每台A型手提电脑尽管出厂价仅是2016年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益．
(1)求2020年每台A型手提电脑的生产成本；
(2)以2016年的生产成本为基数，用二分法求2017～2020年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01)．
[解]　(1)设2020年每台A型手提电脑的生产成本为P元，依题意得P(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，
解得P＝3 200，
所以2020年每台A型手提电脑的生产成本为3 200元．
(2)设2017～2020年生产成本平均每年降低的百分数为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝3 200(0 即5(1－x)2＝4(0 令f(x)＝5(1－x)2－4，
则f(0.10)＝0.05>0，
f(0.11)＝－0.039 5<0，
所以f(x)在(0.10,0.11)内有一个零点x0.
取区间[0.10,0.11]的中点0.105，
则f(0.105)≈0.005>0，
所以f(0.11)·f(0.105)<0，
所以x0∈(0.105,0.11)．
0．105和0.11精确到0.01的近似值都是0.11.
所以f(x)＝0的近似解可以是0.11.
所以2017～2020年生产成本平均每年降低11%.
21．(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝1－(a>0，a≠1)且f(0)＝0.
(1)求a的值；
(2)若函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点，求实数k的取值范围；
(3)当x∈(0,1)时，若f(x)>m·2x－2恒成立，求实数m的取值范围．
[解]　(1)由f(0)＝0得1－＝0，即a＋2＝4，解得a＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝1－＝，函数g(x)＝(2x＋1)·f(x)＋k有零点⇔方程2x－1＋k＝0有解，即k＝1－2x有解，
∵1－2x∈(－∞，1)，∴k∈(－∞，1)．
(3)∵f(x)＝，由f(x)>m·2x－2得m(2x)2＋(m－3)2x－1<0，
令t＝2x，∵x∈(0,1)，∴t∈(1,2)，
即f(x)>m·2x－2⇔mt2＋(m－3)t－1<0对于t∈(1,2)恒成立，
设g(t)＝mt2＋(m－3)t－1，
①当m<0时，m－3<0，∴g(t)＝mt2＋(m－3)t－1<0在(1,2)上恒成立．
∴m<0符合题意；
②当m＝0时，g(t)＝－3t－1<0在(1,2)上恒成立，
∴m＝0符合题意；
③当m>0时，只需⇒⇒m≤，∴0 综上所述，m的取值范围是.
22．(本小题满分12分)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：

投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40

投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解]　以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．

图(1)　　　　　　图(2)
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示，
取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得解得
所以y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x.
设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，
那么
所以W＝－0.152＋0.15×2＋2.6.
当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．