北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.3 直线的方程第2课时练习题

课后素养落实(三)　直线方程的两点式　直线方程的一般式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程(　　)

A．可以写成两点式或截距式

B．可以写成两点式或斜截式或点斜式

C．可以写成点斜式或截距式

D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式

B　[由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．故选B．]

2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则(　　)

A．C＝0，B>0　　 B．A>0，B>0，C＝0

C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0

D　[通过直线的斜率和截距进行判断．]

3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则(　　)

A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>c

C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<c

C　[由已知直线表达式，得l1：y＝－x－，l2：y＝－x－，

由题图知⇒]

4．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是(　　)

A．y＝－x B．y＝x

C．x－y＋2＝0 D．x＋y－2＝0

B　[如图，

已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°．

∴直线l的斜率k＝tan α＝tan 60°＝，

∴直线l的方程为y－＝(x－1)，即y＝x．]

5．若直线Ax＋By＋C＝0过坐标原点，则A，B，C满足的条件是(　　)

A．C＝0  B．AB≠0且C＝0

C．A2＋B2≠0且C＝0 D．A＋B＝0

C　[A，B不能同时为0．]

二、填空题

6．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．

2x－y＋1＝0　[由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0．]

7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．

－　[直线方程为＝，即y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－，∴在x轴上的截距为－．]

8．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是________．

x＋2y－1＝0或x＋3y＝0　[设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l的方程为 ＝，所以x＋3y＝0；当a≠0时，a＝2b，此时直线l的方程为＋＝1，代入(3，－1)，得x＋2y－1＝0．]

三、解答题

9．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，求直线在y轴上的截距．

[解]　由已知，直线过点(3，0)，所以3(a＋2)－2a＝0，

即a＝－6．

所以直线方程为－4x＋45y＋12＝0，即4x－45y－12＝0．令x＝0，得y＝－．

故直线在y轴上的截距为－．

10．求经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程．

[解]　由题意可知，所求直线的斜率为±1．

又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．

所求直线的方程为x－y＋1＝0，或x＋y－7＝0．

11．过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　)

A．2条　　　B．3条　　　C．4条　　　D．无数多条

B　[当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－x；

当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，

∴

∴或即直线方程为＋＝1或＋＝1，

∴满足条件的直线共有3条．故选B．]

12．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是(　　)

A．2x＋y＋1＝0  B．2x－y＋1＝0

C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0

A　[∵点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，

∴2a1＋b1＋1＝0．由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．

∵点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，

∴2a2＋b2＋1＝0．由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．

∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0．]

13．(多选题)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)

A．ab>0 B．bc<0

C．ab<0 D．bc>0

AB　[易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y＝－x－，由题意知 所以ab>0，bc<0．]

14．(一题两空)已知点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________；最小值为________．

3　0　[线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，所以xy＝4x＝－＋3，所以当x＝时，xy的最大值为3；当x＝0或3时，xy的最小值为0．]

15．已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．

[解]　根据题意，设直线l的方程为＋＝1，

由题意，知a>2，b>1，

∵l过点M(2，1)，∴＋＝1，解得b＝，

∴△AOB的面积S＝ab＝a·，化简，得a2－2aS＋4S＝0．　①

∴Δ＝4S2－16S≥0，解得S≥4或S≤0(舍去)．

∴S的最小值为4，

将S＝4代入①式，得a2－8a＋16＝0，解得a＝4，

∴b＝＝2．

∴直线l的方程为x＋2y－4＝0.