北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆1 直线与直线的方程1.6 平面直角坐标系中的距离公式精练

课后素养落实(六)　平面直角坐标系中的距离公式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．点(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　)

A．　 　　B．　 　　C．　 　　D．2

A　[直线y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝，故选A．]

2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于(　　)

A．　　B．－　　C．－　　D．或－

D　[由＝1，解得m＝或－，故选D．]

3．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为(　　)

A．－6或 B．－或1

C．－或 D．0或

A　[＝，即|3m＋5|＝|7－m|，解得m＝－6或．]

4．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是(　　)

A．3x－4y＋4＝0

B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0

C．3x－4y＋16＝0

D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0

D　[在直线3x－4y＋1＝0上取点(1，1)．设与直线3x－4y＋1＝0平行的直线方程为3x－4y＋m＝0，

则＝3，解得m＝16或m＝－14，

即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0．]

5．过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，－1)距离相等的直线的方程是(　　)

A．y＝1

B．2x＋y－1＝0

C．y＝1或2x＋y－1＝0

D．2x＋y－1＝0或2x＋y＋1＝0

C　[∵kAB＝＝－2，过P与AB平行的直线方程为y－1＝－2(x－0)，即2x＋y－1＝0，

又AB的中点C(4，1)，∴PC的方程为y＝1．]

二、填空题

6．已知A(a，3)，B(－2，5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．

3或－2　[依题意及两点间的距离公式，得＝13，整理得a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2．]

7．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．

4　[由题意可设P(x0>0)，

则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号．

故所求最小值是4．]

8．点A(－3，1)，C(1，y)关于点B(－1，－3)对称，则|AC|＝________．

4　[由已知得＝－3，解得y＝－7，即C(1，－7)，∴|AC|＝＝4．]

三、解答题

9．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－．

(1)求直线l的方程；

(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

[解]　(1)由直线方程的点斜式，得y－5＝－(x＋2)，

整理得，所求直线方程为3x＋4y－14＝0．

(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，

由点到直线的距离公式得＝3，

即＝3，

解得C＝1或C＝－29，

故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0．

10．已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为，求直线l1的方程．

[解]　∵l1∥l2，∴＝≠，

∴或

(1)当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，

把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，

∴＝，解得n＝－22或n＝18．

故所求直线的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0．

(2)当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，l2的方程为2x－4y－1＝0，

∴＝，解得n＝－18或n＝22．

故所求直线的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0．

11．在直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)

A．2　　 　B．6　　 　C．3　　 　D．2

A　[如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，

易求得D(4，2)， C(－2，0)，则△PMN的周长＝|PM|＋|MN|＋|NP|＝|DM|＋|MN|＋|NC|．由对称性，D、M、N、C共线，∴|CD|即为所求，由两点间的距离公式得|CD|＝＝2．]

12．若直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)

A．1　　B．2　　C．　　D．4

B　[∵＝≠，∴m＝8，直线6x＋my＋14＝0可化为3x＋4y＋7＝0，两平行线之间的距离d＝＝2．]

13．(多选题)已知直线l：xcos α＋ysin α＝2，则下列结论正确的是(　　)

A．原点到直线l距离等于2

B．若点P在直线l上，则x ＋ y≥4

C．点(1，1)到直线l距离d的最大值等于2＋

D．点(1，1)到直线l距离d的最小值等于2－

ABCD　[由点到直线的距离公式知，A正确；

由A正确得，≥2，所以x＋ y≥4；

因为d＝＝，

所以d的最大值等于2＋，最小值等于2－．]

14．(一题两空)在平面直角坐标系内，已知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为________，平面内到A，B，C，D的距离之和最小的点的坐标是________．

2　(2，4)　[设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|＝2，当且仅当A，M，C共线，且M在A，C之间时取等号，同理，|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线，且M在B，D之间时取等号，连接AC，BD交于一点M(图略)，此时|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M即为所求．因为kAC＝＝2，所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0．①

又因为kBD＝＝－1，所以直线BD的方程为

y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0．②

联立①②得解得所以M(2，4)．]

15．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．

[解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．

由 得正方形的中心坐标为P(－1，0)，

由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．

∴l1：x＋3y＋7＝0．又正方形另两边所在直线与l垂直，

∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0．

∵正方形中心到四条边的距离相等，

∴＝，得a＝9或a＝－3，

∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0．

∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0．