北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系习题

课后素养落实(九)　直线与圆的位置关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　)

A．－2　　　B．－4　　　C．－6　　　D．－8

B　[将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4．]

2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)

A．4　　B．3　　C．2　　D．1

C　[圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C．]

3．设圆C：x2＋y2＝3，直线l：x＋3y－6＝0，点P(x0，y0)∈l，若存在点Q∈圆C，使∠OPQ＝60°(O为坐标原点)，则x0的取值范围是(　　)

A． B．[0，1]

C． D．

C　[由题意知，直线PQ与圆O有公共点，所以≤，即≤2．

又 ＝ ，所以≤2，解得0≤x0≤．]

4．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆2＋2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝(　　)

A．± B．±

C．1或7 D．4±

D　[因为△ABC为等边三角形且边长为2，所以C到AB的距离为，由圆方程可得C，所以＝，解得a＝4±．]

5．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)

A．2　　B．3　　C．4　　D．6

C　[因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和这点到圆心的距离d是一个直角三角形的三边，其中半径r是斜边，所以l2＝d2－r2，

所以切线长最短时，该点到圆心的距离最小．

由题意知，圆心C(－1，2)，半径长r＝，点(a，b)在直线y＝x－3上，

所以点(a，b)与圆心的距离的最小值，即圆心到直线y＝x－3的距离d，易求d＝＝3，

所以切线长的最小值为＝＝4．]

二、填空题

6．圆心在y轴上，经过点(3，1)且与x轴相切的圆的方程是________．

x2＋y2－10y＝0　[由题意，设圆的方程为x2＋(y＋a)2＝a2，因为圆经过点(3，1)，所以把点(3，1)代入圆的方程，得32＋(1＋a)2＝a2，整理得2a＝－10，∴a＝－5，

所以圆的方程为x2＋(y－5)2＝(－5)2，即x2＋y2－10y＝0．]

7．过圆x2＋y2＝4外一点P(4，2)作圆的两条切线，切点A、B，则△ABP的外接圆的方程是________．

(x－2)2＋(y－1)2＝5　[∵圆心为O(0，0)，

又∵△ABP的外接圆就是四边形OAPB的外接圆．其直径d＝|OP|＝2，∴半径r＝．而圆心C为(2，1)，

∴外接圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．]

8．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，其中垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．

5　[如图所示，设弦AC，BD的中点分别为P，Q，根据弦的中点的性质，则OP⊥AC，OQ⊥BD．又AC⊥BD，故四边形OPMQ为矩形，设圆心O与AC、BD的距离分别为d1、d2，则d＋d＝OM2＝3．又AC＝2，BD＝2，则四边形ABCD的面积S＝|AC|·|BD|＝2＝2≤2＝2＝5，等号当且仅当d1＝d2＝时成立，即四边形ABCD的面积的最大值为5．故填5．]

三、解答题

9．如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程．

[解]　圆x2＋y2＝25的半径长r为5，直线被圆所截得的弦长l＝8，于是弦心距d＝ ＝＝3．

因为圆心O(0，0)到直线x＝－3的距离恰为3，

所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．

设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋＝0的距离等于3，

于是＝3，解得k＝－．

故直线的方程为3x＋4y＋15＝0．

综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0．

10．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0．

(1)m∈R时，证明：l与C总相交；

(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．

[解]　(1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，

由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．

由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，

所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．

(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25．如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．

此时PC⊥l，又kPC＝＝3，

所以直线l的斜率为－，

则2m＝－，所以m＝－．

在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5．

所以|AB|＝2＝2．

故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2．

11．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)

A．　　　　B．1　　　　C．　　　　D．

D　[圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则＋d2＝r2，即l＝2＝．]

12．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有(　　)

A．1条　　B．2条　　C．3条　　D．4条

C　[圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论：

(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；

(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．]

13．(多选题)设有一组圆：Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N＋)．下列结论正确的是(　　)

A．存在一条定直线与所有的圆均相切

B．存在一条定直线与所有的圆均相交

C．存在一条定直线与所有的圆均不相交

D．所有的圆均不经过原点

BD　[设直线为y＝ax＋b，则d＝＝．

∵d中无k的2次项，

∴不存在实数a、b，使d＝k2，也不存在实数a、b，使d>k2，故AC错误，

当a＝3，b＝3时，d＝0，恒小于k2与圆相交，B正确．

将(0，0)代入，方程不成立，D正确，选BD．]

14．(一题两空)直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则

(1)a的取值范围是________；

(2)直线l的方程为________．

a<3　 x－y＋5＝0　[(1)依题意得，点C在圆内，所以2＋32＋2×－4×3＋a<0，解得a<3．

(2)由圆的一般方程可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB＝－＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0．]

15．设直线系M：xcos θ＋(y－2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：

①M中所有直线均经过一个定点；

②存在定点P不在M中的任一条直线上；

③对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；

④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．

其中真命题的代号是________ (写出所有真命题的代号)．

②③　[因为xcos θ＋(y－2)sin θ＝1，

所以点P(0，2)到M中每条直线的距离d＝＝1，

即M为圆C：x2＋(y－2)2＝1的全体切线组成的集合，

从而M中存在两条平行直线，所以①错误；

又因为(0，2)点不在任何直线上，所以②正确；

对任意n≥3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故③正确；

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故④错误，

故命题中正确的序号是②③．]