北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.2 椭圆的简单几何性质习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(十二)　椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．椭圆x2＋4y2＝1的焦距为(　　)A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．2B　[先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝．故焦距为2c＝．]2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5，3，0.8 B．10，6，0.8C．5，3，0.6  D．10，6，0.6B　[椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故选B．]3．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)A．　　B．　　C．　　D．C　[不妨设a>0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝．]4．方程＋＝1表示的曲线是(　　)A．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆B．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆C．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为的椭圆D．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为的椭圆B　[由方程可知，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a＝5，b＝4，∴c＝3，所以方程表示的椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，离心率为的椭圆．]5．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是(　　)A．0　　B．1　　C．2　　D．2C　[设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，＝(1－x0，－y0)，∴＋＝(－2x0，－2y0)，∴|＋|＝＝2＝2．∵点P在椭圆上，∴0≤y≤1，∴当y＝1时，|＋|取最小值2．故选C．]二、填空题6．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．[－，]　[因为点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆＋＝1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤，|y|≤2，因此|m|≤，即－≤m≤．]7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程是________．＋＝1或＋＝1　[因为椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，所以＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，所以椭圆的方程是＋＝1或＋＝1．]8．已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．　[设PF的中点为M，椭圆的右焦点为F′，连接OM，MF′，则F(－2，0)，F′(2，0)，|OM|＝2，|PF′|＝2|OM|＝4．根据椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝6，所以|PF|＝2．又因为|FF′|＝4，所以在Rt△MFF′中，tan∠MFF′＝＝＝，即直线PF的斜率是．]三、解答题9．已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PF⊥x轴，OP∥AB，求椭圆的离心率？ [解]　如图，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，P(－c，m)．∵OP∥AB，∴△PFO∽△BOA，∴＝， ①又P(－c，m)在椭圆上，∴＋＝1． ②将①代入②，得＝1，即e2＝，∴e＝．10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点坐标为，离心率e＝；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．[解]　(1)依题意，焦点在x轴上，且c＝3，又e＝，则a＝4，∴b2＝a2－c2＝42－32＝7，∴椭圆的方程为＋＝1．(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1．(3)法一：由题意知e2＝1－＝，所以＝，即a2＝2b2，设所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1．将点M(1，2)代入椭圆方程得＋＝1或＋＝1，解得b2＝或b2＝3．故所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1．法二：设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．11．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)A．　　B．　　C．　　D．B　[因为P，再由∠F1PF2＝60°有＝2a，从而可得e＝＝，故选B．]12．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)A．(0，1)　　B．　　C．　　D．C　[设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，∵·＝0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c<b，c2<b2＝a2－c2．∴e2＝<，∴0<e<．]13．(多选题)已知点(3，2)在椭圆＋＝1上，则下列各点一定在该椭圆上的是(　　)A．(－3，－2)　　B．(3，－2)　　C．(－3，2)　　D．(2，3)ABC　[由椭圆的对称性可知，只有点(2，3)不在椭圆上．]14．(一题两空)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点．则椭圆方程是________；若过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，则∠MAN的大小是________．＋y2＝1　　[(1)由题意设椭圆方程＋＝1(a>b>0)，由c＝，a2＝b2＋c2，代入方程，＋＝1，又∵椭圆过点，∴＋＝1，解得b2＝1，∴a2＝4．椭圆的方程为＋y2＝1．(2)设直线MN的方程为x＝ky－，联立直线MN和曲线C的方程可得 消去x得，(k2＋4)y2－ky－＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝－，y1＋y2＝，又A(－2，0)，则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0，即可得∠MAN＝．]15．在△ABC中，AB＝BC，cos B＝－，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________．　[设AB＝BC＝x，由cos B＝－及余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝x2＋x2＋2x2×＝x2，∴AC＝x．∵椭圆以A、B为焦点，∴焦距为2c＝AB＝x．又椭圆经过点C，∴AC＋BC＝x＋x＝2a，∴2a＝x，∴e＝＝．]