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北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 空间向量的运算达标测试
展开课后素养落实(二十一) 空间向量的运算(二)
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.下列各式计算正确的是( )
A.a+b-(a+b)=2a
B.2(a+b)+c=2a+b+c
C.3(a-b)+3(a+b)=0
D.a+b-(b-3c)=a+3c
D [A不正确,结果应为0;B不正确,结果应为2a+2b+c;C不正确;结果应为6a;D正确,故选D.]
2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( )
A.A、B、D B.A、B、C
C.B、C、D D.A、C、D
A [因为=a+2b.=+=2a+4b=2(a+2b)=2,
所以∥,由于与有一个公共点B,
所以A、B、D三点共线.]
3.设空间中四点O,A,B,P满足=+t,其中0<t<1,则有( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段BA的延长线上
D.点P不一定在直线AB上
A [∵0<t<1,∴点P在线段AB上.]
4.如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC中点,则等于( )
A.a-b+c
B.-a+b+c
C.a+b-c
D.a+b-c
B [=++=a+(b-a)+(c-b)=-a+b+c.]
5.下列命题中,正确命题的个数为( )
①若a∥b,则a与b方向相同或相反;
②若=,则A,B,C,D四点共线;
③若a,b不共线,则空间任一向量p=λa+μb(λ,μ∈R).
A.0 B.1 C.2 D.3
A [当a,b中有零向量时,①不正确;=时,A,B,C,D四点共面不一定共线,故②不正确;由p,a,b共面的充要条件知,当p,a,b共面时才满足p=λa+μb(λ,μ∈R),故③不正确.]
二、填空题
6.在正四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________(用a,b,c表示).
a+b+c [如图,=(+)=+×(+)=a+b+c.]
7.若(x-2a)-2+3b=0,其中a、b、c为已知向量,则未知向量x=________.
a-b+c [据向量的加法、减法整理、运算可得x=a-b+c.]
8.在三棱锥ABCD中,若△BCD是正三角形,E为其中心,则化简+--的结果为________.
0 [如图,延长DE交边BC于点F,则+=,+A=+=,故+--=0.]
三、解答题
9.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,=a,=b,=c,E,F,G,H,P,Q分别是AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,求证:++=0.
[证明] 设=a,=b,=c,
则=a+b,=-c-a,=-b+c,
∴++=a+b-c-a-b+c=0.
10.如图,设A是△BCD所在平面外的一点,G是△BCD的重心.
求证:=(++).
[证明] 连接BG,延长后交CD于点E.
由G为△BCD的重心,得=2.且CE=ED,
∵-=2(-),
∴=+,=,
∴=+(+)=(++).
11.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使a=b成立的充分条件是( )
A.|a|=|b| B.a=-b
C.a∥b D.a=b
D [由a=b,得b=2a,所以b=(2a)=(2a)=a.故选D.]
12.在空间中,=c,=b,若点D满足=2,则=( )
A.b+c B.c-b
C.b-c D.b+c
A [∵=2,∴-=2(-),
∴3=2+,
∴=+=b+c.]
13.(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为( )
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n.
AB [A和B属于数乘对向量与实数的分配律,正确;C中,若m=0,则不能推出a=b,错误;D中,若a=0,则m,n没有关系,错误.]
14.(一题两空)已知|a|=5,a=λb.
(1)若b与a的方向相同,且|b|=7,则λ的值为________.
(2)若b与a的方向相反,且|b|=7,则λ的值为________.
- [由于=,所以当a,b同向时,所以a=b;当a,b反向时,所以a=-b.]
15.如图,四边形ABCD,四边形ABEF都是平行四边形且不共面,M,N分别是AC,BF的中点,判断与是否共线?
[解] ∵M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
∴=++=++.
又=+++=-+--,
∴++=-+--.
∴=+2+=2(++)=2,即=2.
即与共线.
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