高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 空间向量的运算课后测评

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 空间向量的运算课后测评，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课后素养落实(二十二)　空间向量的运算(三)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　)A．－6　　　B．6　　　C．3　　　D．－3B　[由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6．]2．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，·b＝0，则a与b的夹角为(　　)A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150°C　[由·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0．∴cos θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°．]3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是　(　　)A．与 　 B．与C．与 　 D．与A　[选A．可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，·＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以·＝0，同理·＝0，排除B，C，故选A．]4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于(　　)A．6 　 B．6C．12 D．144C　[因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋2×36cos 60°＝144，所以PC＝12．]5．设空间中有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC是(　　)A．直角三角形 　 B．等腰三角形C．等腰直角三角形  D．等边三角形B　[因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋，所以(＋)·(－)＝||2－||2＝0，所以||＝||，即△ABC是等腰三角形．]二、填空题6．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝________．0　[原式＝·＋·＋·(－)＝·(－)＋·(＋)＝·＋·＝0．]7．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则·＝________．14　[由＝＋＋，得·＝·＋·＋2＝4×3×cos 60°＋0＋×42＝14．]8．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．90°　[不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0，所以〈，〉＝90°．]三、解答题9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1．(1)求〈，〉的余弦值；(2)求证：⊥．[解]　(1)＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－．因为·＝0，·＝0，·＝0，所以·＝·＝．又||＝||＝，所以cos〈，〉＝．(2)证明：因为＝＋＝－＋，＝＋＝－(＋)，所以·＝0，所以⊥．10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设＝a，＝b，＝c．(1)试用a，b，c表示向量；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．[解]　(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c．(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，所以|a＋b＋c|＝，所以||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝．11．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　)A．30° 　　　B．45°　　C．60° 　　D．90°C　[根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，所以cos〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°．]12．在三棱锥O­ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝(　　)A．2 　　　B．4　　C． 　　D．3A　[因为＝－＝(＋)－，所以||2＝(＋－)2＝(2＋2＋2＋2·－2·－2·)．又由已知得||＝||＝||＝2，⊥，⊥，·＝2×2×＝2，所以||2＝(4＋4＋4＋4)＝4．所以||＝2，即EF＝2．]13．(多选题)已知a，b是两个非零向量，下列结论中，正确的是(　　)A．a·b＞0⇔〈a，b〉∈B．a·b＝0⇔〈a，b〉＝C．a·b＜0⇔〈a，b〉∈D．|a·b|＝|a||b|⇔〈a，b〉＝0ABC　[只有D是假命题．]14．(一题两空)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________．60°　1　[法一：连接A1D，则∠PA1D就是与所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即与所成角的大小为60°．因此·＝××cos 60°＝1．法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝2＝1．由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，从而〈，〉＝60°．]15．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为 ．(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．[解]　(1)证明：＝＋，＝＋．因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0．又△ABC为正三角形，所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝．因为·＝(＋)·(＋)＝A·＋·＋2＋·＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC1．(2)结合第一问知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1．又||＝ ＝＝||．所以cos〈，〉＝＝，所以||＝2，即侧棱长为2．