数学选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系课时作业

课后素养落实(二十六)　用向量方法研究立体几何中的位置关系

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则(　　)

A．l∥α　　B．l⊂α　　C．l⊥α　　D．l⊂α或l∥α

D　[∵a·b＝0，∴l⊂α或l∥α．]

2．已知非零向量a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量，且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是(　　)

A．垂直　　B．平行　　C．相交　　D．异面

A　[由a＝λb(λ≠0)，知a∥b，由b·c＝0，知b⊥c，故选A．]

3．已知直线l1的方向向量为a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量为b＝(2，y，4)，且l1⊥l2，则x＋y＝(　　)

A．－1　　B．1　　C．0　　D．无法确定

A　[∵l1⊥l2，∴a⊥b，即a·b＝0，∴4＋4y＋4x＝0，即x＋y＝－1．]

4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交

B．平行

C．垂直

D．不能确定

B　[以C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)，∴M，N．

∴＝，易知＝(0，a，0)是平面BB1C1C的一个法向量，而·＝－ ×0＋0×a＋ ×0＝0，

∴⊥，∴MN∥平面BB1C1C．]

5．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)

A．EF至多与A1D，AC之一垂直

B．EF与A1D，AC都垂直

C．EF与BD1相交

D．EF与BD1异面

B　[分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz(图略)，设正方体的棱长为3，则A(3，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，0)，A1(3，0，3)，E(1，0，1)，F(2，1，0)，

∴＝(－3，0，－3)，＝(－3，3，0)，＝(1，1，－1)，

∴·＝0，·＝0，

∴⊥，⊥，∴A1D⊥EF，AC⊥EF．]

二、填空题

6．已知平面α的法向量为(2，m，－1)，平面β的法向量为，且α与β相交，则m，n满足的条件是________．

m≠4，或n≠－　[∵α与β相交，∴α的法向量与β的法向量不共线．∴≠，或≠．即m≠4，或n≠－．]

7．已知向量n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)分别是平面α，β的法向量，那么平面α，β的位置关系为________．

平行　[∵n1＝(－2，1，3)，n2＝(10，－5，－15)．

∴n2＝－5n1，∴n1∥n2，即α∥β．]

8．若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．

AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE　[∵＝λ＋μ (λ，μ∈R)，

∴与，共面．

∴AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE．]

三、解答题

9．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．

[证明]　如图，连接OP，OQ，PQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示)．

则A(1，0，0)，C(0，0，1)，B．

∵P为AC的中点，

∴P．

∴＝，

又由已知，可得＝

＝．

又＝＋＝，

∴＝－＝．

∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA．

10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P，使B1D⊥平面PAC?

[解]　以D为原点建立空间直角坐标系，如图，设存在点P(0，0，z)，且正方体棱长为a，

则＝(－a，0，z)，＝(－a，a，0)，＝(a，a，a)．

∵B1D⊥平面PAC，

∴·＝0，·＝0．

∴－a2＋az＝0．∴z＝a，即点P与D1重合．

∴点P与D1重合时，DB1⊥平面PAC．

11．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是(　　)

A．平行　　 B．相交

C．异面垂直　　 D．异面不垂直

C　[以A为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N．·＝·＝0，

∴ON与AM垂直，易得ON与AM异面，故ON与AM异面垂直．]

12．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE．则M点的坐标为(　　)

A．(1，1，1)

B．

C．

D．

C　[设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，

又O是正方形ABCD对角线交点，

∴M为线段EF的中点．

在空间坐标系中，E(0，0，1)，F(，，1)．

由中点坐标公式，知点M的坐标．]

13．(多选题)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．则下列结论正确的是(　　)

A．A1M∥D1P

B．A1M∥B1Q

C．A1M∥平面DCC1D1

D．A1M∥平面D1PQB1

ACD　[∵＝＋＝＋，＝＋DP＝＋，

∴∥，从而A1M∥D1P，可得ACD正确．

又B1Q与D1P不平行，故B不正确．]

14．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN的最小值为________．

　[如图所示，作MM1⊥AD，垂足为M1，作NN1⊥CD，垂足为N1，

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，根据面面垂直的性质定理，可得MM1，NN1都垂直于平面ABCD，由线面垂直的性质定理，可知MM1∥NN1，易知平面M1N1NM∥平面ACC1A1，由面面平行的性质定理可知，M1N1∥AC，设DM1＝DN1＝x，则0＜x＜1．

在直角梯形MM1N1N中，MN2＝(x)2＋(1－2x)2＝6＋，当x＝时，MN取得最小值为．]

15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为BC的中点．

(1)在B1B上是否存在一点P，使D1P⊥平面B1AE?

(2)在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE?

[解]　(1)如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点A(1，0，0)，E，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，＝(0，－1，－1)，＝．假设存在点P(1，1，z)满足题意，于是＝(1，1，z－1)，

所以所以解得矛盾．

故在B1B上不存在点P使D1P⊥平面B1AE．

(2)假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．

设N(1，y，z)，则

因为＝(1，y，z－1)，所以解得

故平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE．