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    高中数学第三章空间向量与立体几何3.4.1直线的方向向量与平面的法向量课后素养训练含解析北师大版选择性必修第一册

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    高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4. 1 直线的方向向量与平面的法向量课时练习

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何4 向量在立体几何中的应用4. 1 直线的方向向量与平面的法向量课时练习,共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    课后素养落实(二十五) 直线的方向向量与平面的法向量(建议用时:40分钟)一、选择题1已知非零向量abc分别为平面αβγ的法向量abbcαγ的位置关系是(  )A垂直   B.平行   C.相交   D.重合A [由已知得ac,故选A]2(123)(134)则以下向量中能成为平面OAB的法向量的是(  )A(175)      B(175)C(175)    D(175)C [经检验,只有向量(1,-75)分别与垂直,故选C]3已知平面α内有一个点M(112)平面α的一个法向量是n(212)则下列点P在平面α内的是(  )AP(233)       BP(201)CP(440)      DP(33 4)A [由题意知:点P在平面αn·n0,经检验选项A符合题意.]4已知A(100)B(010)C(001)则下列向量是平面ABC法向量的是(  )A(111)      B(111)C(111) D(111) C [n(xyz)为平面ABC的法向量,化简得 xyz]5已知直线l的一个方向向量m(213)且直线lA(0y3)B(12z)两点yz等于(  )A0  B1  C  D3A [A(0y3)B(12z)(12yz3)直线l的一个方向向量为m(2,-13)故设km12k2y=-kz33k解得k=-yzyz0]二、填空题6n是坐标平面xOy的一个法向量n的坐标可以表示为________[答案] 其中z07如图所示正四棱锥S­ABCDO为底面中心则平面SBD的法向量与的夹角等于________45° [正四棱锥底面为正方形,BDACSOAC,又BDSOOAC平面SBD为平面SBD的一个法向量.〉=45°]8下列命题:直线l的方向向量为a(112)直线m的方向向量blm垂直;直线l的方向向量a(011)平面α的法向量n(111)lα平面αβ的法向量分别为n1(013)n2(102)αβ平面α经过三点A(101)B(010)C(120)向量n(1ut)是平面α的法向量ut1.其中为真命题的是________(把你认为正确命题的序号都填上)①④ [对于a(1,-12)ba·b1×21×12×0ab直线lm垂直,正确;对于a(01,-1)n(1,-1,-1)a·n0×11×(1)(1)×(1)0anlαlα错误;对于n1(013)n2(102)n1n2不共线,αβ不成立,错误;对于A(10,-1)B(010)C(120)(111)(110)向量n(1ut)是平面α的法向量,ut1正确.综上,真命题的序号是①④]三、解答题9如图四棱锥P­ABCDPD平面ABCD底面ABCD为正方形且PDADEF分别是PCPB的中点.(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量;(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量.[] (1)AD的中点M,连接MF,连接EFEF分别是PCPB的中点,EFBC,又BCADEFAD则由EFDM知四边形DEFM是平行四边形,MFDE就是直线DE的一个方向向量.(2)PD平面ABCDPDBC,又BCCDPDCDDBC平面PCDDE平面PCDDEBC,又PDCDEPC中点,DEPC,从而DE平面PBC是平面PBC的一个法向量,由(1)可知就是平面PBC的一个法向量.10如图四棱锥P­ABCD底面ABCD为矩形PA平面ABCDEPD的中点ABAP1AD试建立恰当的空间直角坐标系求平面ACE的一个法向量.[] 因为PA平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以ABADAP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(00)EB(100)C(10)于是(10)n(xyz)为平面ACE的法向量, 所以y=-1,则xz所以平面ACE的一个法向量为n(,-1)11.若直线l的方向向量为a(102)平面α的法向量为n(204)(  )Alα BlαClα Dlα斜交B [a(102)n(20,-4)n=-2a,即anlα]12直线l的方向向量为a是平行于平面α内两个不共线向量下列关系中能推出lα的是(  )Aa BakCaλμ D.以上均不能D [ABC均表示lαlα]13(多选题)在直三棱柱ABC­A1B1C1以下向量可以作为平面ABC法向量的是(  )A  B  C  DBC [AA1平面ABCB1B平面ABC可以作为平面ABC的法向量.]14(一题两空)如图圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形O为底面中心MSO中点动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AMMP则点P形成的轨迹长度为________SP距离的最小值是________  [由题意可知,建立空间直角坐标系,如图所示.A(0,-10)B(010)S(00)MP(xy0),则·0yP的轨迹方程为y根据圆的弦长公式,可得点P形成的轨迹长度为2SP知,当x0时,点SP距离的最小,其最小值为]15.四棱锥P­ABCD底面ABCD是一个平行四边形(214)(420)(121)(1)求证:PA底面ABCD(2)求四棱锥P­ABCD的体积;(3)对于向量a(x1y1z1)b(x2y2z2)c(x3y3z3)定义一种运算:(a×bcx1y2z3x2y3z1x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1试计算(×的绝对值的值;说明其与四棱锥P­ABCD体积的关系并由此猜想向量这一运算(×的绝对值的几何意义.[] (1)证明:·=-2240APAB·=-4400APADABAD是底面ABCD上的两条相交直线,AP底面ABCD(2)的夹角为θ,则cos θV||·||·sin θ·||··16(3)|(×||43248|48,它是四棱锥P­ABCD体积的3倍.猜测:|(×|在几何上可表示以ABADAP为棱的平行六面体的体积. 

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