高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 全概率公式达标测试

课后素养落实(三十八)　乘法公式与事件的独立性　全概率公式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C间的关系是(　　)

A．A与B，A与C均相互独立

B．A与B相互独立，A与C互斥

C．A与B，A与C均互斥

D．A与B互斥，A与C相互独立

A　[由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故A与B，A与C均相互独立．而A与B，A与C均能同时发生，从而不互斥．]

2．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

D　[由题意，P(A)＝P(B)，即P(A)P()＝P(B)P()，

则P()＝P()．又P()＝[P()]2＝，所以P()＝，

故P(A)＝1－P()＝．]

3．甲、乙两名射击运动员射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)

A．0.56　　B．0.92　　C．0.94　　D．0.96

C　[设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，目标被击中即为事件A发生或事件B发生，则P＝P(A)＋P(B)＋P(AB)＝0.8×0.3＋0.2×0.7＋0.8×0.7＝0.94．]

4．如图，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性是(　　)

A．0.504　　B．0.994　　C．0.496　　D．0.06

B　[系统可靠即A，B，C 3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994．]

5．已知甲袋中有6个红球，4个白球；乙袋中有8个红球，6个白球，随机取一只袋子，再从该袋中随机取一个球，则该球是红球的概率是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

A　[设B＝{该球是红球}，A1＝{球取自甲袋}，A2＝{球取自乙袋}，根据题意，

P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，

则有B＝A1B∪A2B，

由全概率公式得，P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝．]

二、填空题

6．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则

(1)2个球不都是红球的概率________．

(2)2个球都是红球的概率________．

(3)至少有1个红球的概率________．

(4)2个球中恰好有1个红球的概率________．

　　　　[(1)、(2)、(3)、(4)中的事件依次记为A、B、C、D，

则P(A)＝1－×＝；P(B)＝×＝；P(C)＝1－×＝；P(D)＝×＋× ＝．]

7．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

0.128　[记“该选手回答对第i个问题”为事件Ai(i＝1，2，3，4，5)，且P(Ai)＝0.8．

选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，则该选手第二个问题必回答错，第三、第四个问题必回答对，∴所求事件概率P＝P(·A3·A4)＝P()·P(A3)·P(A4)＝(1－0.8)×0.8×0.8＝0.128．]

8．设甲、乙两人独立地解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为0.36，则甲独立解出此题的概率为________．

0.2　[设甲、乙独立解出的概率为x，

法一：只有甲解出的概率为x(1－x)，只有乙解出的概率为x(1－x)，甲和乙都解出的概率为x2．由题意得，

x(1－x)＋x(1－x)＋x2＝0.36．解方程得，x＝0.2或x＝1.8(舍去)，即甲独立解出的概率为0.2．

法二：甲没有解出此题的概率为1－x，乙没有解出此题的概率为1－x，此题没有被解出的概率为(1－x)2，由题意得，1－(1－x)2＝0.36，解方程得x＝0.2，或x＝1.8(舍去)．]

三、解答题

9．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次的概率．

[解]　记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D．

由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，

由于A＝B＋C＋D，

根据事件的独立性和互斥性得

P(A)＝P(B＋C＋D)

＝P(B)＋P()＋P()

＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D)

＝××＋××＋××＝．

10．甲，乙，丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位，其能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中相互之间没有影响．

(1)求三人能被选中的概率；

(2)求只有两人被选中的概率．

[解]　设甲，乙，丙被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．

(1)∵A，B，C是相互独立事件，∴三人都被选中的概率为P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．

(2)三种情形

①甲未被选中，乙、丙被选中，概率为P(BC)＝P()P(B)P(C)＝××＝．

②乙未被选中，甲、丙被选中，概率为P(AC)＝P(A)P()P(C)＝××＝．

③丙未被选中，甲、乙被选中，概率为P(AB)＝P(A)P(B)P()＝××＝．

以上三种情况是互斥的．因此，只有两人被选中的概率为P2＝＋＋＝．

11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．1

C　[设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为．故选C．]

12．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

C　[∵P(A)＝，P(B)＝，

∴P()＝，P()＝． 又A，B为相互独立事件，

∴P( )＝P()P()＝×＝．

∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P( )＝1－＝．]

13．(多选题)下列说法正确的是(　　)

A．若事件A和B互斥，则事件A与B一定不相互独立

B．如果事件A与事件B相互独立，则事件A与B一定不互斥

C．若事件A与B相互独立，则A与相互独立

D．若事件A，B相互独立，则与相互独立

CD　[当事件A是不可能事件与事件B是必然事件时，事件A与事件B既相互独立，又互斥．]

14．(一题两空)从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响，从中任选一名儿童．

(1)这两项均合格的概率是________；

(2)这两项至少有一项合格的概率是________．

　　[设“儿童体型合格”为事件A，“身体关节构造合格”为事件B，

则P(A)＝，P(B)＝．

因为A，B相互独立，所以，也相互独立，

则P(AB)＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝，

故至少有一项合格的概率为P＝1－P( )＝．]

15．已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

(1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率；

(2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？(lg 2＝0.301 0)

[解]　(1)设敌机被第k门高炮击中的事件为Ak(k＝1，2，3，4，5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为∩∩∩∩．

∵事件A1，A2，A3，A4，A5相互独立，

∴敌机未被击中的概率为

P(∩∩∩∩)＝P()·P()·P()·P()·P()＝(1－0.2)5＝．

∴敌机未被击中的概率为．

(2)设至少需要布置n门高炮才能使敌机有0.9以上的概率被击中，由(1)可得敌机被击中的概率为1－，

∴令1－≥0.9．∴≤．

两边取常用对数，得n≥≈10.3．

∵n∈N＋，∴n＝11．

∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机．