北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 二项分布随堂练习题

课后素养落实(四十三)　二项分布

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标．是独立重复试验的是(　　)

A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④

D　[①、③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．]

2．在4次独立试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　)

A． B．

C． D．以上全不对

A　[令事件A发生的概率为P，则1－(1－P)4＝，所以P＝．]

3．一台X型号的自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，现有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概率是(　　)

A．0.153 6　　B．0.180 8　　C．0.563 2　　D．0.972 8

D　[“一小时内至多有2台机床需要工人照看”的事件包含“有0，1，2台需要照看”三个基本事件，因此，所求概率为C×0.20×0.84＋C×0.21×0.83＋C×0.22×0.82＝0.972 8，或1－(C×0.23×0.8＋C×0.24×0.80)＝0.972 8．]

4．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，发生k次的概率为(　　)

A．1－pk B．(1－p)kpn－k

C．(1－p)k D．C(1－p)kpn－k

D　[在n次独立重复试验中，事件恰发生k次，符合二项分布，而P(A)＝p，则P()＝1－p，故P(X＝k)＝C(1－p)kpn－k．]

5．假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功飞行．若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全，则p的取值范围是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

C　[若4引擎飞机安全飞行，则至少有2台引擎无故障，其概率为Cp2(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4．

同理，双引擎飞机安全飞行的概率为Cp(1－p)＋Cp2．

若4引擎飞机更安全，则有Cp2(1－p)2＋Cp3(1－p)＋Cp4>Cp(1－p)＋Cp2，解得<p<1．]

二、填空题

6．如果ξ～B(20，p)，当p＝且P(ξ＝k)取得最大值时，k＝________．

10　[当p＝时，P(ξ＝k)＝C××＝C×，显然当k＝10时，P(ξ＝k)取最大值．]

7．如果生男孩和生女孩的概率相等，那么有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率是________．

　[设X为该家庭中女孩的个数，则X～B．

该家庭中恰有k个女孩的概率为P(X＝k)＝C·，k＝0，1，2，3．

所以所求概率为P(X≥2)＝C＋C＝＋＝．]

8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义an＝如果Sn为{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．

　[由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×·＝．]

三、解答题

9．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题通过电话询问该服务中心，且每人只拨打一次．

(1)求他们三人中成功咨询的人数X的分布列；

(2)求他们三人中至少1人成功咨询的概率．

[解]　每位同学拨打一次电话可看作一次试验，三位同学每人拨打一次可看作3次独立重复试验，接通咨询中心的服务电话可视为咨询成功．故每位同学成功咨询的概率都是．

(1)由题意知，成功咨询的人数X是一随机变量，用X～B表示．

∴P(X＝k)＝C ，k＝0，1，2，3．

∴X的分布列为

(2)由(1)知，他们三人中至少有1人成功咨询的概率为P＝1－P(X＝0)＝1－＝．

10．甲、乙、丙三人进行羽毛球赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．

[解]　(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”．

则A＝A1·A2．

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝．

(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，

B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，

B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，

B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”，

则B＝·B3＋B1·B2·＋B1·．

P(B)＝P(·B3＋B1·B2·＋B1·)

＝P(·B3)＋P(B1·B2·)＋P(B1·)

＝P()P(B3)＋P(B1)P(B2)P()＋P(B1)P()＝＋＋＝．

11．将一枚硬币连掷7次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k＋1次正面向上的概率，那么k的值为(　　)

A．0　　B．1　　C．2　　D．3

D　[由题意，知C ＝C·，∴C＝C，∴k＋(k＋1)＝7，∴k＝3．]

12．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有1位同学能通过测试的概率为(　　)

A．(1－p)n B．1－pn

C．pn D．1－(1－p)n

D　[所有同学都不能通过测试的概率为(1－p)n，则至少有1位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n．]

13．(多选题)对于伯努利试验，以下说法其中正确的是(　　)

A．每次试验之间是相互独立的

B．每次试验只有两个相互对立的结果

C．每次试验中事件A发生的概率相等

D．各次试验中，各个事件是互斥的

ABC　[根据独立重复试验的特点知只有D是错误的．]

14．(一题两空)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，则p＝________；EX＝________．

0.6　6　[由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布为二项分布，

所以DX＝10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.6或p＝0.4．

由P(X＝4)<P(X＝6)，

得Cp4(1－p)6<Cp6(1－p)4，即(1－p)2<p2，

所以p>0.5，所以p＝0.6，

所以EX＝10×0.6＝6．]

15．一名学生骑自行车上学，从他到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．

(1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数，求X的分布列；

(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

[解]　(1)将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是且每次试验结果相互独立，故X～B，∴X的分布列为

P(X＝k)＝C·· (k＝0，1，2，…，6)．

∴X的分布列如下：

(2)Y＝k(k＝0，1，2，…，5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，其概率为P(Y＝k)＝·，Y＝6表示一路没有遇上红灯，故其概率为P(Y＝6)＝，所以Y的分布列为

(3)所求概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝．