高中数学北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用课后复习题

章末综合测评(一)　三角函数

(满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法中，正确的是(　　)

A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角

B．第二象限的角一定大于第一象限的角

C．－830°是第二象限角

D．－124°与236°是终边相同的角

D　[因为236°＝－124°＋360°，所以－124°与236°是终边相同的角，故选D.]

2．已知sin ＝，则cos 的值为(　　)

A．    B．－    C．    D．－

D　[cos ＝－cos α＝－sin ＝－.]

3．半径为2，圆心角为的扇形的面积为(　　)

A．    B．π    C．    D．

[答案]　C

4．已知P(－3，4)是角α终边上一点，则sin ＝(　　)

A．－    B．    C．－    D.

A　[sin ＝cos α＝－.]

5．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)

A．f(2)<f(－2)<f(0)    B. f(0)<f(2)<f(－2)

C．f(－2)<f(0)<f(2)    D. f(2)<f(0)<f(－2)

A　[由题意， T＝＝＝π，所以ω＝2，则f(x)＝A sin (2x＋φ)，

而当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝A sin (A>0)，则当2x＋＝＋2kπ，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值．

要比较f(2)，f(－2)，f(0)的大小，只需判断2，－2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，

易知0，2与比较近，－2与－比较近，

所以，当k＝0时，x＝，此时≈0.52，≈1.47，，当k＝－1时，x＝－，此时≈0.6，所以f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.]

6．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)

A．y＝cos |2x|     B．y＝|sin x|

C．y＝sin   D．y＝cos

D　[y＝cos |2x|是偶函数，y＝|sin x|是偶函数，y＝sin ＝cos 2x是偶函数，y＝cos ＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.]

7．函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

A　　　　　　　B

C　　　　　　　D

D　[当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，故排除A，C，当x→＋∞时，y→1＋x，故排除B，满足条件的只有D，故选D.]

8．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝A cos ωt＋B，下表是某日各时的浪高数据：

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　)

A．y＝cos t＋1

B．y＝cos t＋

C．y＝2cos t＋

D．y＝cos 6πt＋

[答案]　B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．下列函数中，在上为单调增函数的是(　　)

A．y＝sin    B．y＝sin

C．y＝sin 2x     D．y＝tan x

[答案]　BD

10．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下面结论正确的是(　　)

A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2

B．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

AD　[因为C1，C2函数名不同，所以先将C2利用诱导公式转化成与C1相同的函数名，则C2：y＝sin (2x＋)＝cos ＝cos ，则把曲线C1向左平移个单位长度变为y＝cos ，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C2，故A正确．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，变为y＝cos 2x，再将曲线向左平移个单位得到C2，故D正确．]

11．已知函数f(x)＝，则下列说法中不正确的是(　　)

A．函数f(x)的周期是

B．函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝

C．函数f(x)在区间上为减函数

D．函数f(x)是偶函数

ACD　[由题意知f(x)的周期是；因为f＝1是最大值，故在区间[，]上不可能单调递减；因为f≠f，故不可能是偶函数，故选ACD.]

12．关于函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　)

A．该函数是以π为最小正周期的周期函数

B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1

C．该函数的图象关于x＝＋2kπ(k∈Z)对称

D．当且仅当2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤

CD　[画出f(x)在一个周期[0，2π]上的图象．

由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故AB错误，由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤.故CD正确．]

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝2cos (πt＋)，那么单摆摆动的频率为_______，第二次到达平衡位置O所需要的时间为_______s.

　　[单摆摆动的频率f＝＝＝.

当t＝s时，s＝0，故第一次到达平衡位置O的所需要的时间为t＝s.

所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为＋T＝s. ]

14．已知sin α＝，cos β＝，其中α，β∈，则α＋β＝________．

　[由已知得sin α＝cos β，

∵cos β＝sin ，

∴sin α＝sin ，

又∵α，β∈，

∴α＝－β，故α＋β＝.]

15．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f＝________．

　[由f＝f(x)＋sin x，得f＝f＋sin ＝f＋sin ＋＝f＋sin －＋＝0＋－＋＝.]

16．已知函数y＝sin ωx在区间上为增函数，且图象关于点对称，则ω的取值集合为________．

　[x∈，则ωx∈，

因为y＝sin ωx在上单调递增，所以≤，即0<ω≤1；

又y＝sin ωx图象关于点对称，则sin 3πω＝0，

所以＝3π，解得ω＝，再结合0<ω≤1可得ω＝，，1 ]

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)已知角x的终边过点P(1，).

(1)求sin －sin 的值；

(2)写出角x的集合S.

[解]　∵角x的终边过点P(1，)，

∴r＝|OP|＝＝2.

∴sin x＝，cos x＝.

(1)原式＝sin x－cos x＝.

(2)当x∈时，x＝，

所以，角x的集合S＝.

18．(本小题满分12分)函数f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求曲线y＝f(x)的对称中心的坐标；

(3)设α是锐角，且f＝2，求α的值．

[解]　(1)因为函数f(x)的最大值为3，所以A＋1＝3，即A＝2.

因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，

所以最小正周期为T＝π.

所以ω＝＝2.

故函数f(x)的解析式为y＝2sin ＋1.

(2)由2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，

所以其对称中心为点，k∈Z.

(3)因为f＝2sin ＋1＝2，

即sin ＝，

又因为0<α<，所以－<α－<.

所以α－＝.

故α＝.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin ＋a，a为常数．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若x∈时，|f(x)|的最大值为3，求a的值．

[解]　(1)f(x)＝2sin ＋a.

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)当x∈时，2x－∈，f(x)∈[－1＋a，2＋a]，故a＝－2或1.

20．(本小题满分12分)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．

(1)求此函数的解析式；

(2)求此函数在[－2π，2π]上的递增区间．

[解]　(1)由函数的图象知，A＝2，＝6－(－2)＝8，∴周期T＝16，

∵T＝＝16，

∴ω＝＝，

∴y＝2sin ，

∵函数图象经过点(2，－2)，

∴×2＋φ＝2kπ－，

即φ＝2kπ－，

又|φ|<π，

∴φ＝－，

∴函数的解析式为y＝2sin .

(2)由已知得2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，

即16k＋2≤x≤16k＋10，k∈Z，

即函数的单调递增区间为

，k∈Z，

当k＝－1时，为[－14，－6]，

当k＝0时，为[2，10]，∵x∈[－2π，2π]，

∴函数在[－2π，2π]上的递增区间为[－2π，－6]和[2，2π].

21．(本小题满分12分)已知函数y＝sin (2x＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x＝.

(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；

(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

[解]　(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，

所以sin ＝±1，即＋φ＝kπ＋，k∈Z.因－π<φ<0，所以k＝－1时得φ＝－.

(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin .由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋，(k∈Z)，

所以函数y＝sin 的单调增区间为

，k∈Z.

(3)由y＝sin 知：

令z＝2x－π，x∈[0，π].

①列表如下：

②描点连线得函数y＝f(x)在区间上的图象．

22．(本小题满分12分)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)当x∈时，求y＝f(x)的取值范围．

[解]　(1)由图象得A＝1，＝－＝，

所以T＝2π，则ω＝1.

将点代入得sin ＝1，

而－＜φ＜，所以φ＝，

因此函数f(x)＝sin .

(2)由于x∈，－≤x＋≤，

所以－1≤sin ≤，

所以f(x)的取值范围是.