北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例随堂练习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例随堂练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知点A(－2，－3)，B(2，1)，C(0，1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B． eq \(AB,\s\up8(→))⊥ eq \(BC,\s\up8(→))
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
D [因为 eq \(BC,\s\up8(→))＝(－2，0)， eq \(AC,\s\up8(→))＝(2，4)，所以 eq \(BC,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝－4<0，所以∠C是钝角．]
2．在四边形ABCD中，若 eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(CD,\s\up8(→))＝0， eq \(AC,\s\up8(→))· eq \(BD,\s\up8(→))＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
D [由题可知 eq \(AB,\s\up8(→))∥ eq \(CD,\s\up8(→))，| eq \(AB,\s\up8(→))|＝| eq \(CD,\s\up8(→))|，
所以四边形ABCD是平行四边形，又 eq \(AC,\s\up8(→))⊥ eq \(BD,\s\up8(→))，
故四边形为菱形．]
3．已知点A( eq \r(3)，1)，B(0，0)，C( eq \r(3)，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有 eq \(BC,\s\up8(→))＝λ eq \(CE,\s\up8(→))，其中λ等于( )
A．2 B． eq \f(1,2) C．－3 D．－ eq \f(1,3)
C [如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝ eq \f(\r(3),3)，
∴ eq \f(|\(BC,\s\up8(→))|,|\(CE,\s\up8(→))|)＝3，∴ eq \(BC,\s\up8(→))＝－3 eq \(CE,\s\up8(→)).
∴λ＝－3.]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径为( )
A．4 eq \r(3) B．60 C．5 eq \r(2) D．6 eq \r(2)
C [∵S△ABC＝ eq \f(1,2)ac·sin B＝ eq \f(1,2)c·sin 45°＝ eq \f(\r(2),4)c＝2，
∴c＝4 eq \r(2)，
∴b2＝a2＋c2－2ac cs 45°＝25，
∴b＝5，
∴△ABC的外接圆直径为 eq \f(b,sin B)＝5 eq \r(2).]
5．若O是△ABC内一点， eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OB,\s\up8(→))＋ eq \(OC,\s\up8(→))＝0，则O为△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
D [如图，取AB的中点E，连接OE，则 eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OB,\s\up8(→))＝2 eq \(OE,\s\up8(→)).
又 eq \(OA,\s\up8(→))＋ eq \(OB,\s\up8(→))＋ eq \(OC,\s\up8(→))＝0，
所以 eq \(OC,\s\up8(→))＝－2 eq \(OE,\s\up8(→)).又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且| eq \(OC,\s\up8(→))|＝2| eq \(OE,\s\up8(→))|.
所以O为△ABC的重心．]
二、填空题
6．已知作用在A(1，1)点的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．
(9，1) [F＝F1＋F2＋F3＝(8，0).
又∵起点坐标为A(1，1)，∴终点坐标为(9，1).]
7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 eq \(AB,\s\up8(→))＝m eq \(AM,\s\up8(→))， eq \(AC,\s\up8(→))＝n eq \(AN,\s\up8(→))，则m＋n的值为________．
2 [∵O是BC的中点，
∴ eq \(AO,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))).
又∵ eq \(AB,\s\up8(→))＝m eq \(AM,\s\up8(→))， eq \(AC,\s\up8(→))＝n eq \(AN,\s\up8(→))，
∴ eq \(AO,\s\up8(→))＝ eq \f(m,2) eq \(AM,\s\up8(→))＋ eq \f(n,2) eq \(AN,\s\up8(→)).
∵M，O，N三点共线，∴ eq \f(m,2)＋ eq \f(n,2)＝1.则m＋n＝2.]
8．在边长为1的正三角形ABC中，设 eq \(BC,\s\up8(→))＝2 eq \(BD,\s\up8(→))， eq \(CA,\s\up8(→))＝3 eq \(CE,\s\up8(→))，则 eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(BE,\s\up8(→))＝________．
－ eq \f(1,4) [如图所示， eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→)))， eq \(BE,\s\up8(→))＝ eq \(AE,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))，
∴ eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(BE,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→)))· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AC,\s\up8(→))－\(AB,\s\up8(→))))＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up8(→))2－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up8(→))2－ eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \f(1,3)－ eq \f(1,2)－ eq \f(1,6)cs 60°＝－ eq \f(1,4).]
三、解答题
9．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
[解] 如图，建立平面直角坐标系，则C(2，0)，D(2，3)，E(1，0)，设P(0，y)，
∴ eq \(ED,\s\up8(→))＝(1，3)， eq \(EP,\s\up8(→))＝(－1，y)，
∴| eq \(ED,\s\up8(→))|＝ eq \r(10)，| eq \(EP,\s\up8(→))|＝ eq \r(1＋y2)， eq \(ED,\s\up8(→))· eq \(EP,\s\up8(→))＝3y－1，
代入cs 45°＝ eq \f(\(ED,\s\up8(→))·\(EP,\s\up8(→)),|\(ED,\s\up8(→))||\(EP,\s\up8(→))|)＝ eq \f(3y－1,\r(10)·\r(1＋y2))＝ eq \f(\r(2),2).
解得y＝－ eq \f(1,2)(舍)或y＝2，
∴点P在靠近点A的AO的三等分处．
10．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1).
(1)求 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求| eq \(AM,\s\up8(→))|.
[解] (1)由题意得 eq \(AB,\s\up8(→))＝(3，－1)， eq \(AC,\s\up8(→))＝(－1，－3)，
eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以 eq \(AB,\s\up8(→))⊥ eq \(AC,\s\up8(→))，即∠A＝90°.
因为| eq \(AB,\s\up8(→))|＝| eq \(AC,\s\up8(→))|，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2，0).
又A(1，2)，所以 eq \(AM,\s\up8(→))＝(1，－2)，
所以| eq \(AM,\s\up8(→))|＝ eq \r(12＋（－2）2)＝ eq \r(5).
11．已知点O在△ABC所在平面上，若 eq \(OA,\s\up8(→))· eq \(OB,\s\up8(→))＝ eq \(OB,\s\up8(→))· eq \(OC,\s\up8(→))＝ eq \(OC,\s\up8(→))· eq \(OA,\s\up8(→))，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
B [∵ eq \(OA,\s\up8(→))· eq \(OB,\s\up8(→))＝ eq \(OB,\s\up8(→))· eq \(OC,\s\up8(→))，∴( eq \(OA,\s\up8(→))－ eq \(OC,\s\up8(→)))· eq \(OB,\s\up8(→))＝ eq \(CA,\s\up8(→))· eq \(OB,\s\up8(→))＝0，∴ eq \(OB,\s\up8(→))⊥ eq \(CA,\s\up8(→)).
同理可证 eq \(OC,\s\up8(→))⊥ eq \(AB,\s\up8(→))， eq \(OA,\s\up8(→))⊥ eq \(BC,\s\up8(→))，
∴O是垂心．]
12．若O是△ABC所在平面内一点，且满足| eq \(OB,\s\up8(→))－ eq \(OC,\s\up8(→))|＝| eq \(OB,\s\up8(→))＋ eq \(OC,\s\up8(→))－2 eq \(OA,\s\up8(→))|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [∵| eq \(OB,\s\up8(→))－ eq \(OC,\s\up8(→))|＝| eq \(CB,\s\up8(→))|＝| eq \(AB,\s\up8(→))－ eq \(AC,\s\up8(→))|，| eq \(OB,\s\up8(→))＋ eq \(OC,\s\up8(→))－2 eq \(OA,\s\up8(→))|＝| eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))|，
∴| eq \(AB,\s\up8(→))－ eq \(AC,\s\up8(→))|＝| eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))|，
设 eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AC,\s\up8(→))＝ eq \(AD,\s\up8(→))，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．]
13．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝ eq \r(5)， eq \(AC,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))＝5，则AC的长为________．
2 [因为 eq \(BD,\s\up8(→))＝ eq \(AD,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))，
所以 eq \(BD,\s\up8(→))2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AC,\s\up8(→))－\(AB,\s\up8(→)))) eq \s\up8(2)＝ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up8(→))2－ eq \(AC,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \(AB,\s\up8(→))2，
又 eq \(BD,\s\up8(→))2＝| eq \(BD,\s\up8(→))|2＝5， eq \(AC,\s\up8(→))· eq \(AB,\s\up8(→))＝5，
所以 eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up8(→))2＝1，所以| eq \(AC,\s\up8(→))|＝2，即AC＝2.]
14．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若 eq \(BD,\s\up8(→))＝2 eq \(DC,\s\up8(→))， eq \(AE,\s\up8(→))＝λ eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))(λ∈R)，且 eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(AE,\s\up8(→))＝－4，则λ的值为________.
eq \f(3,11) [由已知得 eq \(AB,\s\up8(→))· eq \(AC,\s\up8(→))＝3×2×cs 60°＝3， eq \(BD,\s\up8(→))＝2 eq \(DC,\s\up8(→))，∴ eq \(AD,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→))＝2( eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AD,\s\up8(→)))
∴ eq \(AD,\s\up8(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up8(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AC,\s\up8(→))，
则 eq \(AD,\s\up8(→))· eq \(AE,\s\up8(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up8(→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up8(→))))·(λ eq \(AC,\s\up8(→))－ eq \(AB,\s\up8(→)))＝ eq \f(λ,3)×3＋ eq \f(2λ,3)×4－ eq \f(1,3)×9－ eq \f(2,3)×3＝－4⇒λ＝ eq \f(3,11).]
15.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
[解] (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝ eq \f(|G|,cs θ)，|F2|＝|G|tan θ.
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．
(2)由(1)，得|F1|＝ eq \f(|G|,cs θ)，
由|F1|≤2|G|，得cs θ≥ eq \f(1,2) .
又因为0°≤θ＜90°，
所以0°≤θ≤60°.