高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课后作业题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用课后作业题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．sin 10°cs 20°＋sin 80°sin 20°等于( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2)
C [sin 10°cs 20°＋sin 80°sin 20°＝sin 10°cs 20°＋cs 10°sin 20°
＝sin (10°＋20°)＝sin 30°＝ eq \f(1,2)，故选C.]
2. eq \r(3)tan 23°tan 97°－tan 23°－tan 97°的值为( )
A．2 B．2 eq \r(3)
C． eq \r(3) D．0
C [∵tan (23°＋97°)＝ eq \f(tan 23°＋tan 97°,1－tan 23°tan 97°)＝tan 120°＝－ eq \r(3)，
∴tan 23°＋tan 97°＝－ eq \r(3)＋ eq \r(3)tan 23°tan 97°，
∴原式＝ eq \r(3)tan 23°tan 97°－(－ eq \r(3)＋ eq \r(3)tan 23°tan 97°)＝ eq \r(3).]
3．在△ABC中，A＝ eq \f(π,4)，cs B＝ eq \f(\r(10),10)，则sin C等于( )
A． eq \f(2\r(5),5) B．－ eq \f(2\r(5),5)
C． eq \f(\r(5),5) D．－ eq \f(\r(5),5)
A [sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)
＝sin A cs B＋cs A sin B＝ eq \f(\r(2),2)(cs B＋ eq \r(1－cs2B))
＝ eq \f(\r(2),2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),10)＋\f(3\r(10),10)))＝ eq \f(2\r(5),5).]
4．已知0<α< eq \f(π,2)<β<π，又sinα＝ eq \f(3,5)，cs (α＋β)＝－ eq \f(4,5)，则sin β等于( )
A．0 B．0或 eq \f(24,25)
C． eq \f(24,25) D．0或－ eq \f(24,25)
C [∵0<α< eq \f(π,2)<β<π，sin α＝ eq \f(3,5)，cs (α＋β)＝－ eq \f(4,5)，
∴cs α＝ eq \f(4,5)，sin (α＋β)＝ eq \f(3,5)或－ eq \f(3,5).
∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cs α－cs (α＋β)sin α＝ eq \f(24,25)或0.
∵ eq \f(π,2)<β<π，∴sin β＝ eq \f(24,25).]
5．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(3,5)，则sin α等于( )
A． eq \f(\r(2),10) B． eq \f(7\r(2),10)
C．－ eq \f(\r(2),10)或 eq \f(7\r(2),10) D．－ eq \f(7\r(2),10)
B [由α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，得 eq \f(3π,4)<α＋ eq \f(π,4)< eq \f(5π,4)，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝
－ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))\s\up8(2))＝－ eq \f(4,5).
所以sinα＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cs eq \f(π,4)－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin eq \f(π,4)
＝ eq \f(\r(2),2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)＋\f(4,5)))＝ eq \f(7\r(2),10)，故选B.]
二、填空题
6. eq \f(tan 75°－tan 15°,1＋tan 75°tan 15°)＝________．
eq \r(3) [原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝ eq \r(3).]
7．设α为锐角，若cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(3,5)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝________．
eq \f(\r(2),10) [因为α为锐角，所以 eq \f(π,6)<α＋ eq \f(π,6)< eq \f(2π,3).
又cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(3,5)，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(4,5).
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,4)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cs eq \f(π,4)－cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sin eq \f(π,4)＝ eq \f(4,5)× eq \f(\r(2),2)－ eq \f(3,5)× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2),10).]
8．已知A，B都是锐角，且tan A＝ eq \f(1,3)，sin B＝ eq \f(\r(5),5)，则A＋B＝________．
eq \f(π,4) [∵B为锐角，sin B＝ eq \f(\r(5),5)，∴cs B＝ eq \f(2\r(5),5)，
∴tan B＝ eq \f(1,2)，
∴tan (A＋B)＝ eq \f(tan A＋tan B,1－tan A tan B)＝ eq \f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,3)×\f(1,2))＝1.
又∵0三、解答题
9．已知tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(1,2).
(1)求tan α的值；
(2)求 eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)的值．
[解] (1)∵tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝ eq \f(1,2)，∴ eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝ eq \f(1,2)，∴2＋2tan α＝1－tan α，∴tan α＝－ eq \f(1,3).
(2) eq \f(2sin αcs α－cs2α,2cs2α)＝tanα－ eq \f(1,2)＝－ eq \f(1,3)－ eq \f(1,2)＝－ eq \f(5,6).
10．若sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)，sin (β－α)＝ eq \f(\r(10),10)，且α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，求α＋β的值．
[解] 因为α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，所以2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).
又sin 2α＝ eq \f(\r(5),5)>0，
故2α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，且cs 2α＝－ eq \f(2\r(5),5).
又β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，所以β－α∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，α＋β∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，
于是cs (β－α)＝－ eq \f(3\r(10),10)，
所以cs (α＋β)＝cs [2α＋(β－α)]＝cs 2αcs (β－α)－sin 2αsin (β－α)
＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－ eq \f(\r(5),5)× eq \f(\r(10),10)＝ eq \f(\r(2),2)，
故α＋β＝ eq \f(7π,4).
11．已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值为( )
A．－ eq \f(2\r(3),5) B． eq \f(2\r(3),5)
C．－ eq \f(4,5) D． eq \f(4,5)
C [∵cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，
∴cs αcs eq \f(π,6)＋sin αsin eq \f(π,6)＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，
∴ eq \f(\r(3),2)cs α＋ eq \f(3,2)sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，
即 eq \f(1,2)cs α＋ eq \f(\r(3),2)sin α＝ eq \f(4,5)，
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(4,5).
∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－ eq \f(4,5).]
12．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin α＝ eq \f(4\r(3),5)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值是( )
A． eq \f(4,5) B．－ eq \f(4,5)
C． eq \f(2\r(3),5) D．－ eq \f(2\r(3),5)
A [由题意得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin α＝( eq \f(1,2)sin α＋ eq \f(\r(3),2)cs α)＋sin α＝ eq \f(3,2)sin α＋ eq \f(\r(3),2)cs α＝ eq \r(3)sin (α＋ eq \f(π,6))＝ eq \f(4\r(3),5)，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝ eq \f(4,5).故选A.]
13．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，则 eq \f(sin （α＋β）,cs （α－β）)＝________．
－ eq \f(3,2) [由题意知：tan α＋tan β＝3，tan α tan β＝－3，∴ eq \f(sin （α＋β）,cs （α－β）)＝ eq \f(sin αcs β＋cs αsin β,cs αcs β＋sin αsin β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1＋tan αtan β)＝ eq \f(3,1＋（－3）)＝－ eq \f(3,2).]
14．已知sin α＋cs β＝1，cs α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．
－ eq \f(1,2) [∵sin α＋cs β＝1，①
cs α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin αcs β＋cs αsin β)＋1＝1，
∴sin αcs β＋cs αsin β＝－ eq \f(1,2)，
∴sin (α＋β)＝－ eq \f(1,2).]
15．已知函数f(x)＝A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，x∈R，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝ eq \f(3\r(2),2).
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝ eq \r(3)，θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ)).
[解] (1)由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝A sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋\f(π,3)))＝A sin eq \f(3π,4)＝ eq \f(\r(2)A,2)＝ eq \f(3\r(2),2)，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝ eq \r(3)，
则3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))－3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＝ eq \r(3)，
即3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin θ＋\f(\r(3),2)cs θ))－3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs θ－\f(1,2)sin θ))＝ eq \r(3)，
故sin θ＝ eq \f(\r(3),3).因为θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs θ＝ eq \f(\r(6),3)，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ＋\f(π,3)))＝3sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝3cs θ＝ eq \r(6).