必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式达标测试

这是一份必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式达标测试，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．cs 15° sin 105°＝( )
A． eq \f(\r(3),4)＋ eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),4)－ eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),2)＋1 D． eq \f(\r(3),2)－1
A [cs 15°sin 105°＝ eq \f(1,2)[sin (15°＋105°)－sin (15°－105°)]
＝ eq \f(1,2)[sin 120°－sin (－90°)]＝ eq \f(1,2)× eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)×1＝ eq \f(\r(3),4)＋ eq \f(1,2).]
2．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( )
A．0 B． eq \f(\r(3),2) C． eq \f(1,2) D．1
A [原式＝2sin 30°cs 10°－sin 80°＝cs 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.]
3． eq \f(sin 10°＋sin 50°,sin 35°·sin 55°)＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C．2 D．4
C [原式＝ eq \f(2sin 30°cs 20°,sin 35°cs 35°)＝ eq \f(cs 20°,\f(1,2)（sin 70° sin 0°）)＝ eq \f(2cs 20°,cs 20°)＝2.]
4．若cs x cs y＋sin x sin y＝ eq \f(1,2)，sin 2x＋sin 2y＝ eq \f(2,3)，则sin (x＋y)＝( )
A． eq \f(2,3) B．－ eq \f(2,3) C． eq \f(1,3) D．－ eq \f(1,3)
A [因为cs x cs y＋sin x sin y＝ eq \f(1,2)，
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－y))＝ eq \f(1,2)，
因为sin 2x＋sin 2y＝ eq \f(2,3)，
所以2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－y))＝ eq \f(2,3)，
所以2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋y))· eq \f(1,2)＝ eq \f(2,3)，所以sin (x＋y)＝ eq \f(2,3)，故选A.]
5．函数y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x的最大值为( )
A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4) C．1 D． eq \f(\r(2),2)
B [y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x
＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)＋x))＋sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)－x))))
＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－\f(1,2)))＝ eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－ eq \f(1,4).
∴ymax＝ eq \f(1,2)－ eq \f(1,4)＝ eq \f(1,4).]
二、填空题
6．cs 2α－cs 3α化为积的形式为________．
2sin eq \f(5α,2)sin eq \f(α,2) [cs 2α－cs 3α＝－2sin eq \f(2α＋3α,2)sin eq \f(2α－3α,2)＝－2sin eq \f(5α,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(α,2)))＝2sin eq \f(5α,2)sin eq \f(α,2).]
7．sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))·cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋β))化为和差的结果是________．
eq \f(1,2)cs (α＋β)＋ eq \f(1,2)sin (α－β) [原式＝ eq \f(1,2)[sin ( eq \f(π,2)＋α＋β)＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－β))]＝ eq \f(1,2)cs (α＋β)＋ eq \f(1,2)sin (α－β).]
8. eq \f(sin 35°＋sin 25°,cs 35°＋cs 25°)＝________．
eq \f(\r(3),3) [原式＝ eq \f(2sin \f(35°＋25°,2)cs \f(35°－25°,2),2cs \f(35°＋25°,2)cs \f(35°－25°,2))＝ eq \f(cs 5°,\r(3)cs 5°)＝ eq \f(\r(3),3).]
三、解答题
9．求下列各式的值：
(1)sin 54°－sin 18°；
(2)cs 146°＋cs 94°＋2cs 47°cs 73°.
[解] (1)sin 54°－sin 18°＝2cs 36°sin 18°
＝2· eq \f(2sin 18°cs 18°cs 36°,2cs 18°)＝ eq \f(2sin 36°cs 36°,2cs 18°)＝ eq \f(sin 72°,2cs 18°)＝ eq \f(cs 18°,2cs 18°)＝ eq \f(1,2).
(2)cs 146°＋cs 94°＋2cs 47°cs 73°
＝2cs 120°cs 26°＋2× eq \f(1,2)(cs 120°＋cs 26°)
＝2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×cs 26°＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋cs 26°
＝－cs 26°＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋cs 26°＝－ eq \f(1,2).
10．在△ABC中，若B＝30°，求cs A sin C的取值范围．
[解] 由题意，得
cs A sin C＝ eq \f(1,2)[sin (A＋C)－sin (A－C)]
＝ eq \f(1,2)[sin (π－B)－sin (A－C)]＝ eq \f(1,4)－ eq \f(1,2)sin (A－C).
∵B＝30°，
∴－150°＜A－C＜150°，
∴－1≤sin (A－C)≤1，
∴－ eq \f(1,4)≤ eq \f(1,4)－ eq \f(1,2)sin (A－C)≤ eq \f(3,4).
∴cs A sin C的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(3,4))).
11．cs 40°＋cs 60°＋cs 80°＋cs 160°＝( )
A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(2),3) D． eq \f(\r(3),2)
B [cs 60°＋cs 80°＋cs 40°＋cs 160°＝ eq \f(1,2)＋cs 80°＋2cs 100°cs 60°
＝ eq \f(1,2)＋cs 80°－cs 80°＝ eq \f(1,2).]
12. eq \f(sin 45°＋sin 15°,cs 45°＋cs 15°)＝( )
A． eq \r(3) B． eq \f(\r(3),3) C． eq \f(1,2) D．1
B [原式＝ eq \f(2sin \f(45°＋15°,2)cs \f(45°－15°,2),2cs \f(45°＋15°,2)cs \f(45°－15°,2))
＝ eq \f(2sin 30°cs 15°,2cs 30°cs 15°)＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3)，故选B.]
13．函数y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))的最大值是________．
eq \f(3,4) [y＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs （2x＋π）＋cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))
＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs 2x＋cs \f(π,3)))＝ eq \f(1,4)－ eq \f(1,2)cs 2x，
因为－1≤cs 2x≤1，所以ymax＝ eq \f(3,4).]
14．若sin α＋sin β＝ eq \f(\r(3),3)(cs β－cs α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则tan eq \f(α－β,2)的值为________，α－β的值为________．
eq \r(3) eq \f(2π,3) [∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0，
∴cs β－cs α>0，
∴cs β>cs α，又在(0，π)上，y＝cs x是减函数，
∴β<α，0<α－β<π，由原式可知：
2sin eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2)
＝ eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2sin \f(α＋β,2)sin \f(β－α,2)))，
∴tan eq \f(α－β,2)＝ eq \r(3)，∴ eq \f(α－β,2)＝ eq \f(π,3)，∴α－β＝ eq \f(2π,3).]
15．若sin α＋cs β＝ eq \f(1,3)，cs α＋sin β＝ eq \f(2,3)，求tan eq \f(α－β,2)的值．
[解] 令θ＝ eq \f(π,2)－β，则sin α＋sin θ＝ eq \f(1,3)，cs α＋cs θ＝ eq \f(2,3) ，
由和差化积公式得，2sin eq \f(α＋θ,2)cs eq \f(α－θ,2)＝ eq \f(1,3)，
2cs eq \f(α＋θ,2)cs eq \f(α－θ,2)＝ eq \f(2,3)，
两式相除得，tan eq \f(α＋θ,2)＝ eq \f(1,2)，
即tan eq \f(α＋\f(π,2)－β,2)＝ eq \f(1,2)，
tan ( eq \f(π,4)＋ eq \f(α－β,2))＝ eq \f(1,2)，
所以 eq \f(1＋tan \f(α－β,2),1－tan \f(α－β,2))＝ eq \f(1,2)，
解得tan eq \f(α－β,2)＝－ eq \f(1,3).