一、选择题
1．复数cs eq \f(π,6)－isin eq \f(π,6)的辐角主值为( )
A. － eq \f(π,6) B． eq \f(π,6)
C. eq \f(5π,6) D. eq \f(11π,6)
D [因为cs eq \f(π,6)－isin eq \f(π,6)＝cs eq \f(11π,6)＋isin eq \f(11π,6)，所以复数cs eq \f(π,6)－isin eq \f(π,6)的辐角主值为 eq \f(11π,6).]
2．下列复数是复数的三角形式的是( )
A. －3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)＋isin \f(π,12)))B．3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,12)－isin \f(π,12)))
C. cs eq \f(π,3)＋isin eq \f(π,4) D. cs eq \f(5π,6)＋isin eq \f(5π,6)
D [由复数的三角形式的定义可知cs eq \f(5π,6)＋isin eq \f(5π,6)是复数的三角形式，故选D.]
3．把复数－3 eq \r(3)＋3i化为三角形式为( )
A．6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6))) B．6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5π,6)＋isin \f(5π,6)))
C．6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,6)＋isin \f(7π,6)))D．6 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(11π,6)＋isin \f(11π,6)))
B [－3 eq \r(3)＋3i＝6(cs eq \f(5π,6)＋isin eq \f(5π,6)).]
4．设z1＝cs eq \f(π,4)＋isin eq \f(π,4)，z2＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5π,12)＋isin \f(5π,12)))，则z1·z2＝( )
A. eq \f(3,2)＋ eq \f(\r(3),2)i B． eq \f(3,2)－ eq \f(\r(3),2)i
C. － eq \f(3,2)＋ eq \f(3\r(3),2)i D．－ eq \f(3,2)－ eq \f(3\r(3),2)i
C [z1·z2＝3 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(5π,12)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(5π,12)))))＝3 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(2π,3)＋isin \f(2π,3)))＝－ eq \f(3,2)＋ eq \f(3\r(3),2)i.]
5．设z1＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,12)＋isin \f(7π,12)))，z2＝cs eq \f(11π,12)＋isin eq \f(11π,12)，则 eq \f(z1,z2)＝( )
A. 2＋2 eq \r(3)i B．－2＋2 eq \r(3)i
C. －2－2 eq \r(3)i D．2－2 eq \r(3)i
D [ eq \f(z1,z2)＝ eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,12)＋isin \f(7π,12))),cs \f(11π,12)＋isin \f(11π,12))
＝4 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＋isin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))))＝2－2 eq \r(3)i.]
二、填空题
6．把复数3＋ eq \r(3)i对应的向量按顺时针方向旋转 eq \f(π,6)，所得向量对应的复数为________．
2 eq \r(3) [复数3＋ eq \r(3)i对应的向量按顺时针方向旋转 eq \f(π,6)，所得向量对应的复数是(3＋ eq \r(3)i)[cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋isin (－ eq \f(π,6))]＝(3＋ eq \r(3)i) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝2 eq \r(3).]
7．计算： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))))) eq \s\up8(6)＝________．
64 [ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))))) eq \s\up8(6)＝64(cs 0＋isin 0)＝64.]
8．计算：2i÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))＝________．
1＋ eq \r(3)i [2i÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,2)＋isin \f(π,2)))÷ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))
＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))＝1＋ eq \r(3)i.]
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)(1＋i) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) eq \s\up8(9)；
(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))))) eq \s\up8(4)÷ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6))))).
[解] (1)(1＋i) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) eq \s\up8(9)＝ eq \r(2)(cs eq \f(π,4)＋isin eq \f(π,4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))) eq \s\up8(9)
＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))(cs 3π＋isin 3π)
＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(5π,4)＋isin \f(5π,4)))＝－1－i.
(2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3))))) eq \s\up8(4)÷ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))))＝8 eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7,6)π＋isin \f(7,6)π))＝－4 eq \r(6)－4 eq \r(2)i.
10．已知复数z＝1＋i，求复数 eq \f(z2－3z＋6,z＋1)的模和辐角主值．
[解] 因为z＝1＋i，
所以 eq \f(z2－3z＋6,z＋1)＝ eq \f(（1＋i）2－3（1＋i）＋6,1＋i＋1)＝ eq \f(3－i,2＋i)＝ eq \f(（3－i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝1－i＝ eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)＋isin \f(7π,4)))，
所以复数 eq \f(z2－3z＋6,z＋1)的模为 eq \r(2)，辐角主值为 eq \f(7π,4).
11．设z1＝cs eq \f(π,6)－isin eq \f(π,6)，z2＝cs eq \f(5π,6)＋isin eq \f(5π,6)，则z1·z2＝( )
A. 1 B．－1
C. － eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i D．－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i
D [因为z1＝cs eq \f(π,6)－isin eq \f(π,6)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋isin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，z2＝cs eq \f(5π,6)＋isin eq \f(5π,6)，
所以z1·z2＝cs eq \f(2π,3)＋isin eq \f(2π,3)＝－ eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i.]
12．计算2(cs 75°＋isin 75°)÷ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))))的值为( )
A. 1＋i B． eq \f(\r(2),2)＋ eq \f(\r(2),2)i
C. － eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i D． eq \f(\r(2),6)＋ eq \f(\r(2),6)i
D [2(cs 75°＋isin 75°)÷ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,6)＋isin \f(π,6)))))
＝2(cs 75°＋isin 75°)÷ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(6（cs 30°＋isin 30°）))
＝ eq \f(1,3)(cs 45°＋isin 45°)＝ eq \f(\r(2),6)＋ eq \f(\r(2),6)i.]
13．复数z＝1＋cs θ＋isin θ(0<θ<π)的模是________，辐角主值是________．
2cs eq \f(θ,2) eq \f(θ,2) [z＝1＋cs θ＋isin θ＝1＋2cs2 eq \f(θ,2)－1＋2isin eq \f(θ,2)cs eq \f(θ,2)＝2cs eq \f(θ,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)＋isin \f(θ,2)))，因为0<θ<π，所以0< eq \f(θ,2)< eq \f(π,2)，所以复数z的模是2cs eq \f(θ,2)，辐角主值是 eq \f(θ,2).]
14．若θ＝10°，则 eq \f(（cs θ＋isin θ）5（cs 3θ－isin 3θ）6,（cs 4θ＋isin 4θ）2)＝________．
－ eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i [ eq \f(（cs θ＋isin θ）5（cs 3θ－isin 3θ）6,（cs 4θ＋isin 4θ）2)
＝ eq \f(（cs 5θ＋isin 5θ）[cs （－18θ）＋isin （－18θ）],cs 8θ＋isin 8θ)
＝ eq \f(cs （－13θ）＋isin （－13θ）,cs 8θ＋isin 8θ)
＝cs (－21θ)＋isin (－21θ)
＝cs (－210°)＋isin (－210°)＝－ eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i.]
15．若OZ1与OZ2分别表示复数z1＝1＋2 eq \r(3)i，z2＝7＋ eq \r(3)i，求∠Z2OZ1，并判断三角形Z2OZ1的形状．
[解] 如图， eq \f(z1,z2)＝ eq \f(1＋2\r(3)i,7＋\r(3)i)＝ eq \f(1＋\r(3)i,4)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,3)＋isin \f(π,3)))，
所以∠Z2OZ1＝ eq \f(π,3)，且 eq \f(|OZ1|,|OZ2|)＝ eq \f(1,2)，
由余弦定理，设|OZ1|＝k，|OZ2|＝2k(k>0)，
|Z1Z2|2＝k2＋4k2－2k×2k×cs eq \f(π,3)＝3k2，所以|Z1Z2|＝ eq \r(3)k，
而k2＋( eq \r(3)k)2＝(2k)2，所以三角形Z2OZ1为有一锐角为60°的直角三角形．