数学必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理同步测试题

这是一份数学必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理同步测试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于( )
A．60° B．120°
C．30° D．60°或120°
D [由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.]
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
D [可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).]
3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( )
A．相交 B．异面
C．相交或异面 D．平行
C [如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．]
4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
D [如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊 eq \f(1,2)BD，HG綊EF綊 eq \f(1,2)AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．]
5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
D [若c与a，b都不相交，
∵c与a都在α内，
∴a∥c.
又c与b都在β内，
∴b∥c.
由基本事实4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
]
二、填空题
6．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
60° [连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.]
7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论正确的为________．(填序号)
①③ [把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]
8.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
60° [连接BC1，AD1(图略)，∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1(图略).
∵△ACD1是等边三角形，
∴∠D1AC＝60°.]
三、解答题
9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[证明] 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(基本事实4).
∴四边形EQC1B1为平行四边形．
∴B1E 綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，
∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q綊DF.
∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
10.如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2 eq \r(3)，AE＝2.
(1)求直线BC和EG所成的角；
(2)求直线AE和BG所成的角．
[解] (1)连接AC(图略).
∵EG∥AC，
∴∠ACB即是BC和EG所成的角．
∵在长方体ABCD­EFGH中，AB＝AD＝2 eq \r(3)，AE＝2，
∴tan ∠ACB＝1，
∴∠ACB＝45°，
∴直线BC和EG所成的角是45°.
(2)∵AE∥BF，
∴∠FBG即是AE和BG所成的角．
易知tan ∠FBG＝ eq \r(3)，
∴∠FBG＝60°，
∴直线AE和BG所成的角是60°.
11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
A [如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A.]
12．在三棱锥A­BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是( )
A．菱形 B．矩形
C．梯形 D．正方形
B [如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HE綊 eq \f(1,2)BD，同理GF綊 eq \f(1,2)BD，所以HE綊GF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B.]
13.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
5 [取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝ eq \f(1,2)AC＝4，PM＝ eq \f(1,2)BD＝3，
∴MN＝5.]
14．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号).
②④ [①中，∵G，M是中点，∴AG綊BM，∴GM綊AB綊HN，∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；
②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；
③中，∵G，M是中点，∴GM綊 eq \f(1,2)CD，∴GM綊 eq \f(1,2)HN，∴H，G，M，N四点共面；
④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．]
15．在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
[解] 如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC­A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cs 30°＝ eq \r(3)a.
又∠BAC＝90°，
∴在矩形ABDC中，AD＝ eq \r(2)a，
∴A1D1＝ eq \r(2)a，
∴A1D eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))＋A1B2＝BD eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1))，
∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cs ∠A1BD1＝ eq \f(A1B,BD1)＝ eq \f(a,\r(3)a)＝ eq \f(\r(3),3).