北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直第2课时随堂练习题

课后素养落实(五十)　平面与平面垂直的判定

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有(　　)

A．α⊥γ且l⊥m 　 B．α⊥γ且m∥β

C．m∥β且l⊥m  D．α∥β且α⊥γ

A　[B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．]

2．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　)

A．α⊥γ，β⊥γ     B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β

C．a∥β，a∥α      D．a∥α，a⊥β

D　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.]

3．下列命题中正确的是(　　)

A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β

C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β

D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β

C　[当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确．]

4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体A­BCD，则在几何体A­BCD中，下列结论正确的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

D　[由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，

从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.

又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.]

5．下列不能确定两个平面垂直的是(　　)

A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C．一个平面经过另一个平面的一条垂线

D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b

D　[如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．]

二、填空题

6．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：

①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；

②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；

③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；

④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.

其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上).

①④　[①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确．]

7．在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，有下列四个命题：①BC∥平面PDF；②平面PDF⊥平面ABC；③DF⊥平面PAE；④平面PAE⊥平面ABC.其中正确命题的序号是________(把所有正确命题的序号都填上).

①③④　[因为D，F分别是AB，AC的中点，所以DF∥BC，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故①正确；因为E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥PE.因为AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.因为BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故④正确；因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，故③正确；只有②不正确．故正确的命题为①③④.]

8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α和β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．

①③④⇒②(或②③④⇒①)　[m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，

∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，

从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.

或当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m⊂β，当n⊥β时，有m⊥n.

故答案为①③④⇒②(或②③④⇒①).]

三、解答题

9．如图所示，在四棱锥S­ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．

求证：平面EBD⊥平面ABCD.

[证明]　连接AC与BD交于O点，连接OE.

∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.

∵SC⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

又∵EO⊂平面EBD，

∴平面EBD⊥平面ABCD.

10．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.

[证明]　∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG.同理可证AC⊥DG.

又∵BG∩DG＝G，

∴AC⊥平面BGD.

∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.

又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD.

11．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE

C　[因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.

因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]

12.(多选题)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：

①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.

在翻折的过程中，可能成立的结论是(　　)

A．①　　 　B．②    C．③　　　 D．④

BC　[对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选BC.]

13．如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是________个．

4　[∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC.

∴△ABC为直角三角形．

又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．]

14．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由题意得BD⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，

而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]

15．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC.

(1)求证：AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1吗？请叙述你的判断理由．

[解]　 (1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，底面ABC∩平面BB1C1C＝BC，

∴AD⊥平面BB1C1C.

又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.

(2)证明：如图，延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.

∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.

∵A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥B1C1，

又面NB1C1⊥侧面BB1C1C，平面NB1C1∩平面BB1C1C＝B1C1，

∴C1N⊥侧面BB1C1C.

∴平面C1BN⊥侧面BB1C1C.

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM＝MA1.证明如下：过M作ME⊥BC1于点E，连接DE，

∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C.

又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四点共面．

∵MA∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE.

∴四边形AMED是平行四边形，又AM∥CC1，∴DE∥CC1.

∵BD＝CD，∴DE＝CC1，

∴AM＝CC1＝AA1.

∴AM＝MA1.