高中数学1.1.2 集合的基本关系同步达标检测题

三　集合的基本关系

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.(2021·武汉高一检测)已知集合C＝{(x，y)|y＝x}，集合D＝，则下列表示正确的是(　　)

A．C＝D    B．C⊆D    C．CD    D．DC

【解析】选D.因为D＝＝，C＝{(x，y)|y＝x}，所以DC.

2．(2021·武汉·高一检测)下列表示正确的是(　　)

A．∅⊆{0}      B．a⊆{a}

C．{a}∈{a，b}    D．{0}＝∅

【解析】选A.对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即∅⊆{0}，即A正确，

对于选项B，a∈{a}，即B错误，

对于选项C，{a}⊆{a，b}，即C错误，

对于选项D，{0}≠∅，即D错误．

3．已知集合M⊆{4，7，8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有(　　)

A．3个　　　    B．4个　　　    C．5个　　　    D．6个

【解析】选D.M可以是∅，{4}，{7}，{8}，{4，7}，{7，8}，共6个．

【补偿训练】

 (2020·合肥高一检测)设A为非空的数集，A⊆，且A中至少含有一个奇数元素，则这样的集合A共有(　　)

A．6个     B．5个    C．4个    D．3个

【解析】选A.因为A为非空集合，

A⊆，且A中至少含有一个奇数，

所以当A中只含3不含7时A＝{3，6}，{3}，

当A中只含7不含3时A＝{7，6}，{7}，

当A中既含3又含7时A＝{3，6，7}，{3，7}，

故符合题意的集合A共有6个．

4．若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则b＝________，c＝________．

【解析】依题意知，1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两根，所以解得

答案：－3　2

5．(2021·天津高一检测)集合A满足A⊆，则集合A的个数有________个．

【解析】因为A⊆，

所以A⊆，

所以A＝，A＝，

A＝，所以集合A的个数有3个．

答案：3

6．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．若A⊇B，求m的取值范围．

【解析】化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．

(1)当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅⊆A.

(2)当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，

因此，要B⊆A，

则只要⇒－1≤m≤2.

综上所述，m的取值范围是{m|－1≤m≤2或m≤－2}．

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．已知集合M＝，

N＝，则集合M，N的关系是(　　)

A．M⊆N　　    B．MN　

C．N⊆M　　    D．NM

【解析】选B.设n＝2m或2m＋1，m∈Z，则有

N＝

＝.

又因为M＝，所以MN.

2．设集合A＝，

B＝，

则集合A和集合B的关系为(　　)

A．A＝B    B．B⊆A    C．A⊆B    D．AB

【解析】选B.因为x＝＋＝，

所以A＝，

因为x＝k－＝＝，

所以B＝，B⊆A.

3．已知集合P＝{x|y＝}，集合Q＝{y|y＝}，则P与Q的关系是(　　)

A．P＝Q　　    B．P⊆Q

C．P⊇Q　　    D．P∩Q＝∅

【解析】选C.P＝{x|y＝}＝[－1，＋∞)，

Q＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，所以P⊇Q.

4．已知集合A＝，B＝，且A是B的真子集．若实数y在集合中，则不同的集合共有(　　)

A．4个     B．5个     C．6个    D．7个

【解析】选A.因为实数y在集合中，即y可取0或3，A是B的真子集：当y＝0时，x可取0，2，4，当y＝3时，x可取2，3，4，又x，y组成集合，即x≠y，所以当y＝0时，x可取2，4，当y＝3时，x可取2，4. 共4个．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)

A．3∈A    B．{－3}∈A

C．∅⊆A    D．{3，－3}⊆A

【解析】选ACD.根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：

对于A，3∈A，3是集合A的元素，正确；对于B，{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}⊆A，错误；

对于C，∅⊆A，空集是任何集合的子集，正确；对于D，{3，－3}⊆A，任何集合都是其本身的子集，正确．

6．(2021·南京高一检测)已知A⊆，则集合A可能是(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选ABC.因为A⊆{x|x≥1}，所以A是集合{x|x≥1}的子集，

所以选项A，B，C都正确，只有选项D不正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．若{x∈Z|2x－a＝0}{x|－1<x<3}，则a的所有取值组成的集合为________.

【解析】由题意可知，－1<<3，

所以－2<a<6，又a＝2x，x∈Z，

所以a取0，2，4.

答案：{0，2，4}

8．设A是非空集合，对于k∈A，如果∈A，那么称集合A为“和谐集”，在集合M＝的所有非空子集中，是“和谐集”的集合的个数为________．

【解 析 】由“和谐集”的定义知，该集合中可以含有元素－1，1，和3，和2，所以是“和谐集”的集合的个数为15个．

答案：15

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1＜x－1＜4}．

(1)若A＝B，求y的值．

【解题指南】由题意结合集合相等的定义分类讨论可得y的值．

【解析】若a＝2，则A＝{1，2}，

所以y＝1.

若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，

所以y＝3，

综上，y的值为1或3.

 (2)若A⊆C，求a的取值范围．

【解题指南】由题意得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得a的范围．

【解析】因为C＝{x|2＜x＜5}，

所以解得3＜a＜5.

所以a的取值范围是(3，5).

10．(2021·启东高一检测)已知集合A＝

.

(1)若∅是A的真子集，求a的取值范围；

【解析】因为∅是A的真子集，

所以A＝≠∅，

所以Δ＝4＋4a≥0，

所以a≥－1；

(2)若B＝，且A是B的子集，求实数a的取值范围．

【解析】B＝＝，

因为A⊆B，所以A＝∅，，，，

A＝∅，则Δ＝4＋4a<0，

所以a<－1；A是单元素集合，Δ＝4＋4a＝0，

所以a＝－1，此时

A＝，符合题意；A＝，0－1＝－1≠－2不符合．综上，a≤－1.

【应用创新练】

1．设含有8个元素的集合的全部子集数为S，含有3个元素的集合的全部子集数为T，则的值为________．

【解析】因为含有8个元素的集合的全部子集数为28＝256，又因为含有3个元素的集合的全部子集数为23＝8，所以的值为＝.

答案：

2．我们把以集合A的全体子集为元素的集合称为集合A的幂集，记作P(A)，即P(A)＝，

(1)试写出集合A1＝{a }，A2＝{a，b }，A3＝{a，b，c}, A4＝{a，b，c，d}的幂集．

【解析】P(A1)＝{ ∅，{a }}；

P(A2)＝{ ∅，{a}, {b }，{a，b }}；

P(A3)＝{ ∅，{a }, {b }，{c }，{a，b }，{a，c }，{b，c }，{a，b，c}}；P(A4)＝ { ∅，{a }，{b }，{c }，{d}，{a，b }，{a，c}，{a，d }，{b，c }，{b，d }，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{ b，c，d}，{a，b，c，d}}．

(2)猜想若集合An有n个元素，那么P(An)的元素的个数是多少？

【解析】猜想：若An有n个元素，则P(An)有2n个元素．