高中1.2.1 命题与量词综合训练题

六　命题与量词

【基础全面练】　(15分钟·30分)

1.下列命题是真命题的是(　　)

A．∀x∈R，x>0

B．∃x∈R，x2＋2x＋3＝0

C．有的三角形是正三角形

D．每一个四边形都有外接圆

【解析】选C.对A，∀x∈R，x>0显然不正确；

对B，∃x∈R，x2＋2x＋3＝0，因为Δ<0，所以方程无解，命题不正确；

对C，有的三角形是正三角形，显然正确；

对D，每一个四边形都有外接圆，显然不正确．

2．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　)

A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

【解析】选D.A、B不是全称量词命题，故排除；

等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对全体实数都成立．

3．下列命题：①偶数都可以被2整除；②任何一个实数乘以0都等于0；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.

是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________(填上所有满足要求的序号).

【解析】①是全称量词命题；②是全称量词命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题；④是存在量词命题；⑤是存在量词命题．

答案：①②　③④⑤

4．已知命题p：“∃x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，则实数a的取值集合是__________．

【解析】因为“∃x∈R，(a－3)x＋1＝0”是真命题，所以关于x的方程(a－3)x＋1＝0有实数解，

所以a－3≠0，即a≠3，

所以实数a的取值集合是{a∈R|a≠3}．

答案：{a∈R|a≠3}

【补偿训练】

对于非空实数集A，定义A*＝.设非空实数集C⊆D.现给出以下命题：

(1)对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有D*⊆C*；

【解析】对任意d∈D*，根据题意，对任意x∈D，有d≥x，因为C⊆D，

所以对任意的c∈C，一定有d≥c，

所以d∈C*，

即D*⊆C*，(1)正确；

(2)对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C*∩D≠∅；

【解析】如C＝(－∞，0)＝D，则C*＝[0，＋∞)，

但C*∩D＝∅，(2)错误；

(3)对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必有C∩D*＝∅；

【解析】如C＝(－∞，0]＝D，则D*＝[0，＋∞)，但C∩D*＝，(3)错误；

(4)对于任意给定符合题设条件的集合C，D，必存在常数a，使得对任意的b∈C*，恒有a＋b∈D*.

【解析】首先对任意集合A，由定义知A*一定有最小值，又由(1)D*⊆C*，设C*，D*的最小值分别为c，d，即C*＝[c，＋∞)，D*＝[d，＋∞)，只要取a>d－c，则对任意的b∈C*，a＋b>d－c＋b＝d＋(b－c)≥d，即a＋b∈D*，(4)正确．

以上命题正确的是________．

答案：(1)(4)

5．(2021·青岛高一检测)判断下列命题的真假：

(1)∃x，y∈Z，3x－2y＝10；

【解析】当x＝4，y＝1时满足3x－2y＝10，故(1)为真命题；

(2)∃a，b∈R，(a－b)2＝a2－b2；

【解析】当a＝1，b＝0时满足(a－b)2＝a2－b2，故(2)为真命题；

(3)∀a，b∈R，a3－b3＝(a－b).

【解析】根据立方差公式可知∀a，b∈R，a3－b3＝(a－b)成立．故(3)为真命题．

【综合突破练】　(20分钟·40分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．下列命题中的真命题是(　　)

A．∀x∈R，x2>0

B．∀x∈R，x2＋2x>0

C．∃x∈R，<0

D．∃x∈R，x＝6

【解析】选D.∀x∈R，x2≥0，故排除A.

取x＝0，则x2＋2x＝0，故排除B.

因为≥0，故排除C；取x＝－2，

则x＝6，故D正确．

2．(多选题)(2021·南京高一检测)已知下列命题中，真命题的是(　　)

A．∀x∈R，x2＋1>0　　 B．∀x∈N，x2≥1

C．∃x∈Z，x3<1      D．∃x∈Q，x2＝3

【解析】选AC.对于A，因为x2≥0，

所以x2＋1≥1>0，故A是真命题；

对于B，取x＝0，则0<1，不满足x2≥1，故B是假命题；

对于C，取x＝0，满足0<1，故C是真命题；

对于D，令x2＝3，

解得x＝±，而±∉Q，故D是假命题．

3．(2021·南昌高一检测)已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是(　　)

A．a≥－3    B．a>－3

C．a≤－3    D．a<－3

【解析】选D.因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}，又因为a∈A是假命题，

即a∉A，所以a<－3.

4．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是(　　)

A．至少有一个x∈Z，使得x2<3成立

B．对任意a，b∈R，都有a2＋b2≥2

C．∃x∈R，＝x

D．菱形的两条对角线长度相等

【解析】选B.A.因为02<3，0∈Z，所以至少有一个x∈Z，使得x2<3成立，是真命题，但不是所有的x∈Z，都有x2<3成立，不是全称量词命题；

B．因为a2＋b2－2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以B是真命题，又因为a，b∈R都使命题成立，故本命题符合题意；C.当x≥0，＝x成立，是真命题，但不是对所有的实数都成立，故不是全称量词命题；

D．并不是所有的菱形对角线长度都相等，是假命题，是全称量词命题．

【补偿训练】

已知∀x∈[0，2]，m＞x，∃x∈[0，2]，n＞x，那么m，n的取值范围分别是(　　)

A．m∈(0，＋∞)，n∈(0，＋∞)

B．m∈(0，＋∞)，n∈(2，＋∞)

C．m∈(2，＋∞)，n∈(0，＋∞)

D．m∈(2，＋∞)，n∈(2，＋∞)

【解析】选C.由∀x∈[0，2]，m＞x，可得m＞2；由∃x∈[0，2]，n＞x，可得n＞0.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·中山高一检测)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)

【解析】命题p，含有存在量词∃，是存在量词命题，为假命题．

x2＋2x＋5＝0，

所以Δ＝22－4×1×5＝－16<0，方程无实数解，命题为假命题．

答案：存在量词命题　假

6．若命题“∃x∈(0，＋∞)，x2＋mx＋1＝0”是真命题，则实数m的取值范围是________．

【解析】该命题为真命题，等价于方程x2＋mx＋1＝0有正根，又因为x1·x2＝1＞0，

所以

即m≤－2，

所以m的取值范围是(－∞，－2].

答案：(－∞，－2]

三、解答题

7．(10分)命题“∀x∈[1，＋∞)，x2＋x＋m≥0”是假命题，求实数m的取值范围．

【解析】由已知可得m≥－x2－x

＝－2＋，

设函数y＝－2＋，

由二次函数的性质知，当x∈[1，＋∞)时，y随x的增大而减小，所以y∈(－∞，－2]，

当命题“∀x∈[1，＋∞)，x2＋x＋m≥0”是真命题时，m≥y最大值＝－2，当命题是假命题时，得m<－2，即实数m的取值范围是(－∞，－2).

【补偿训练】

若对于一切x∈R且x≠0，都有|x|＞ax，求实数a的取值范围．

【解析】若x＞0，由|x|＞ax

得a＜＝1，

若x＜0，由|x|＞ax得a＞＝－1，

若对于一切x∈R且x≠0，

都有|x|＞ax，

则实数a的取值范围是(－1，1).