高中人教B版 (2019)2.2.3 一元二次不等式的解法同步达标检测题

十五　一元二次不等式的解法

　基础全面练　(15分钟·35分)

1.(2021·重庆高一检测)不等式－x2＋x＋6<0的解集是(　　)

A．

B．

C．或

D．或

【解析】选C.方程－x2＋x＋6＝0的根为x＝－2和x＝3.

－x2＋x＋6<0⇔x2－x－6>0，所以不等式－x2＋x＋6<0的解集是或.

　　　【补偿训练】

 (多选题)3＋5x－2x2＞0的充分不必要条件是(　　)

A．－＜x＜3    B．－＜x＜0

C．1＜x＜2    D．－1＜x＜6

【解析】选BC.由不等式3＋5x－2x2＞0，可得2x2－5x－3＜0，解得－＜x＜3，

由此可得：选项A，－＜x＜3是不等式3＋5x－2x2＞0成立的充要条件；

选项B，－＜x＜0是不等式3＋5x－2x2＞0成立的充分不必要条件；

选项C，1<x<2是不等式3＋5x－2x2＞0成立的充分不必要条件；

选项D，－1＜x＜6是不等式3＋5x－2x2＞0成立的必要不充分条件．

2．(2021潍坊高一检测)若x2＋qx＋p>0的解集是{x|2<x<4}，则p·q＝(　　)

A．－12    B．－10    C．－8    D．－6

【解析】选D.因为x2＋qx＋p>0的解集是{x|2<x<4}，所以<0且2和4是一元二次方程x2＋qx＋p＝0，即x2＋pqx＋p2＝0的两个实根，所以，解得p＝－2，q＝，所以pq＝－6.

3．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　　)

A．100台    B．120台

C．150台    D．180台

【解析】选C.y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，

即x2＋50x－30 000≥0，

解得x≥150或x≤－200(舍去).

4．(2021·太原高一检测)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则不等式ax2－bx＋c<0的解集是________．

【解析】由不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，

可得x＝－2和x＝－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以，

解得a>0，b＝a，c＝a，

则不等式ax2－bx＋c<0可化为ax2－ax＋a<0，即2ax2－5ax＋2a<0，

因为a>0，所以不等式等价于2x2－5x＋2＝(x－2)(2x－1)<0，解得<x<2，即不等式ax2－bx＋c<0的解集为.

答案：

5．(2021·上海高一检测)不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则不等式>0的解集为________．

【解析】因为不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，所以a>0且a－b＝0，所以b＝a，

所以不等式>0可得化为>0，

又因为a>0，

所以>0，即(x－2)(x＋1)>0，

解得x<－1或x>2，

所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞).

答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)

6．解不等式－1<x2＋2x－1≤2.

【解析】原不等式可化为

即即

所以

如图，结合数轴，可得原不等式的解集为

{x|－3≤x<－2或0<x≤1}．

　综合突破练　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2021·定远高一检测)已知集合A＝，非空集合B＝，B⊆A，则实数a的取值范围为(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选B.A＝＝，由B⊆A且B为非空集合可知，应满足，解得a∈

2．(2021·合肥高一检测)已知a>0>b，则不等式a>>b等价于(　　)

A．<x<0或0<x<

B．－<x<0或0<x<－

C．x<或x>

D．－<x<－

【解析】选C.因为a>>b，所以ax2>x>bx2(x≠0)，由ax2>x可得x<0或x>，由x>bx2可得x>0或x<，求交集可得，x<或x>.

3．(2020·泰安高一检测)某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)

A．10<x<20    B．15≤x<20

C．15<x<20    D．10≤x<20

【解析】选B.由题意，x[30－2(x－15)]>400，

则－2x2＋60x－400>0，即x2－30x＋200<0，

所以(x－10)(x－20)<0，即10<x<20，

因为每盏最低售价为15元，所以15≤x<20.

　　　【补偿训练】

 某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t变动的范围是________．

【解析】由题意知征收耕地占用税后每年损失耕地为万亩，则税收收入为×24 000×t%.由题意×24 000×t%≥9 000，

整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5.

所以当耕地占用税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证一年税收不少于9 000万元．所以t的范围是[3，5].

答案：[3，5]

4．(2021·武汉高一检测)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|1<x<2}，则关于x的不等式>0的解集是(　　)

A．

B．{x|x<－1或x>6}

C．{x|－1<x<1或2<x<6}

D．{x|x<－1或1<x<2或x>6}

【解析】选D.不等式x2＋px＋q<0的解集为{x|1<x<2}，即x2＋px＋q＝0的二根是1和2，利用根和系数的关系可知p＝－3，q＝2，故不等式>0即转化成>0，

即>0，

等价于

或者，

解得x<－1或x>6，或者1<x<2.故解集为{x|x<－1或1<x<2或x>6}．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．(2021·沭阳高一检测)解关于x的不等式x2－4mx＋3m2≤0的解集，下列说法正确的是(　　)

A．当m＝0时，x∈∅

B．当m>0时，x∈

C．当m<0时，x∈

D．当m<0时，x∈

【解析】选BD.因为x2－4mx＋3m2≤0，所以≤0.

当m＝0时，解集为；

当m>0时，解集为；当m<0时，解集为.

6．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax成立的x的集合为(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选BC.因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a<0，所以－＝－1＋2＝1，＝－2，所以b＝－a，c＝－2a，由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax，得a(x2＋1)－a(x－1)－2a<2ax，

得ax2－3ax<0.因为a<0，所以x2－3x>0，

所以x<0或x>3，所以不等式a＋b＋c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________．

【解析】由x2－2ax－8a2<0，

得(x＋2a)(x－4a)<0，

因为a>0，则4a＞－2a，

所以不等式的解集为(－2a，4a)，

即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，

得4a－(－2a)＝15，解得a＝.

答案：

8．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数a的值为________，m的值为________．

【解析】由题意可知不等式ax2－6x＋a2＝0

可化为a(x－1)(x－m)<0的形式且a>0，

所以解得m＝2，所以a＝2.

答案：2　2

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．假设国家计划收购m kg某种农副产品，收购价格是每千克12元，其中征税标准是每100元征税8元(称为税率是8%)，为了减轻农民负担，国家决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定实数x的取值范围．

【解析】由题意知，税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)kg，税率降低后的税收为12m(1＋2x%)(8－x)%元，原来的税收为12m×8%元.根据题意，可得12m(1＋2x%)(8－x)%≥12m×8%×78%，

即x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.

又x>0，所以0<x≤2，

所以实数x的取值范围是{x|0<x≤2}．

10．(2021·淮安高一检测)已知函数y＝(m＋1)x2－mx＋m－1(m∈R).

(1)若不等式y<0的解集为∅，求m的取值范围；

(2)当m>－2时，解不等式y≥m.

【解析】(1)①m＋1＝0，即m＝－1时，f(x)＝y＝x－2<0的解集不是空集，舍去；

②m＋1≠0，即m≠－1时，

，

即，所以，

解得m≥，

所以m的取值范围是.

(2)因为f(x)＝y≥m化简得：[(m＋1)x＋1](x－1)≥0，

①m＋1＝0，即m＝－1时，解集为{x∣x≥1}，

②m＋1>0，即m>－1时，(x－1)≥0，

所以因为－<0<1，所以解集为|x≤－或，

③m＋1<0，即m<－1时，(x－1)≤0，

因为－2<m<－1，所以－1<m＋1<0，

所以－>1，所以解集为.

　应用创新练

1．在R上定义运算：xy＝x(1－y)，若不等式(x－a)(x－b)＞0的解集是(2，3)，则a＋b的值为(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8

【解析】选C.因为xy＝x(1－y)，

所以(x－a)(x－b)＞0，

得(x－a)[1－(x－b)]＞0，

即(x－a)(x－b－1)＜0，

因为不等式(x－a)(x－b)＞0的解集是(2，3)，

所以a＋b＋1＝2＋3，所以a＋b＝4.

2．当0≤x≤2时不等式(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2恒成立，试求t的取值范围．

【解析】令y＝x2－3x＋2，0≤x≤2.

则y＝x2－3x＋2＝－，

所以函数在[0，2]上取得最小值为－，最大值为2.若(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2在[0，2]上恒成立，

则即

所以或

所以t的取值范围为－1≤t≤1－.

　　　【补偿训练】

 在R上定义运算：x*y＝x(1－y).若不等式(x－a)*(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则(　　)

A．－1<a<1      B．0<a<2

C．－<a<     D．－<a<

【解析】选C.依题意得x－a－x2＋a2<1恒成立，即＋>0恒成立⇔a2－a－<0恒成立⇔－<a<.