高中人教B版 (2019)3.1.1 函数及其表示方法第1课时练习

十八　函数的概念

基础全面练　(15分钟·30分)

1.下列说法错误的是(　　)

A．函数值域中的每一个值都有定义域中的至少一个值与它对应

B．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集

C．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了

D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素

【解析】选B.根据函数的概念可判断A，C，D是正确的．对于B，如函数y＝1，值域是{1}，是有限集．

2．若对应关系f为“求绝对值”是定义在集合A上的一个函数，值域为B，若A＝{－1，0，1}，则A∩B＝(　　)

A．{－1，0，1}　　B．{0，1}　　C．{1}　　D．{0}

【解析】选B.由题意知A＝{－1，0，1}，对应关系f为“求绝对值”，则B＝{0，1}，所以A∩B＝{0，1}．

3．(2021·天津高一检测)函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．　　　　 B．

C．       D．∪

【解析】选D.f(x)＝的定义域满足：，解得x∈∪.

4．(2021·南阳高一检测)函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的交点个数为(　　)

A．0　　　B．1　　　C．0或1　　　D．无数个

【解析】选C.若函数y＝f(x)在x＝a处无意义，则函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的交点个数为0；若函数y＝f(x)在x＝a处有意义，则函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的交点个数为1.

5.如图所示，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数解析式，并写出它的定义域．

【解析】AB＝2x，的长为πx，于是AD＝，所以y＝2x·＋，

即y＝－x2＋x.由得0<x<，所以此函数的定义域为.

【补偿训练】

(1)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；

【解析】由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4，10].

(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；

【解析】由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1，2].

(3)若f(x)的定义域为[－3，5]，求φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域．

【解析】已知f(x)的定义域为[－3，5]，则φ(x)的定义域需满足

即解得－3≤x≤3.

所以函数φ(x)的定义域为[－3，3].

综合突破练　(20分钟·40分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．(多选题)下列对应关系，其中是定义在集合A上的函数的是(　　)

A．A＝{1，4，9}，B＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f为“求平方根”

B．A＝R，B＝R，f为“求倒数”

C．A＝R，B＝R，f为“平方减2”

D．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f为“求平方”

【解析】选CD.对于A，不是函数，A中的元素在B中的对应元素不唯一；对于B，不是函数，A中的元素0在B中没有对应元素；对于C，符合函数概念，是函数；对于D符合函数概念，是函数．

2．如表表示y是x的函数，则函数的值域是(　　)

A.{y|－1≤y≤1}     B．R

C．{y|2≤y≤3}     D．{－1，0，1}

【解析】选D.函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}.

【补偿训练】

下列函数的定义域不是R的是(　　)

A．y＝x＋1      B．y＝x2

C．y＝      D．y＝2x

【解析】选C.A为一次函数，B为二次函数，D为正比例函数，定义域都为R；C为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R.

3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．给定集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系：①“求倒数”，②“加上1”，③“求绝对值”，④“求平方”，请由函数定义判断，其中能构成定义在集合M上的函数的是(　　)

A．①③    B．①②    C．③④    D．②④

【解析】选C.在①中，y＝，

当x＝－1时，y＝＝－1∉N，错误；

在②中，y＝x＋1，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0∉N，错误；在③中，y＝|x|，满足函数定义，正确；

在④中，y＝x2满足函数定义，正确．

4．(2021·烟台高一检测)令表示不超过x的最大整数，例如，＝－4，＝2，若函数f＝3－，则函数f在区间上所有可能取值的和为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

【解析】选B.因为表示不超过x的最大整数，所以：

当0≤x<时，有0≤2x<1，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝0，此时f(x)＝0，

当≤x<1时，有1≤2x<2，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝1，此时f(x)＝－1，

当1≤x<时，有2≤2x<3，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝2，此时f(x)＝1，

当≤x<2时，有3≤2x<4，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝3，此时f(x)＝0，

当x＝2时，2x＝4，则[x]＝2，则3[x]＝6，[2x]＝4，此时f(x)＝2，

函数f(x)在区间[0，2]上所有可能取值的和为0－1＋1＋0＋2＝2.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·长葛高一检测)已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的定义域是________，值域是________．

【解析】由函数图像可知，函数的定义域为[－3，0]∪[1，3]，值域为[1，5].

答案：[－3，0]∪[1，3]　[1，5]

6．(2021·哈尔滨高一检测)若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________．

【解析】由函数y＝的定义域为R，

则mx2＋4mx＋3＝0无解，

当m＝0时，此时方程无解，满足题意；

当m≠0时，Δ＝2－12m<0，解得0<m<，

综上所述，实数m的取值范围是.

答案：

三、解答题

7．(10分)求下列函数的值域：

(1)f＝x2－2x，其定义域为A＝{0，1，2，3}；

【解析】分别令x＝0，1，2，3，得f(0)＝0，f(1)＝－1，f(2)＝0，f(3)＝3，所以函数的值域为{－1，0，3}.

(2)y＝；

【解析】令t＝x2－4x＋6，配方得t＝2＋2，故t∈[2，＋∞)，则函数y＝的值域是[，＋∞).

(3)y＝.

【解析】由y＝得x2＋(1－2y)x＋1－y＝0.定义域为{x|x≠－1}．当y＝1时，x＝0；当y≠1时，由Δ≥0，即2－42≥0，可得y≥且y≠1.

综上可得，原函数的值域为.

【补偿训练】求下列函数的定义域：

(1)y＝2x＋3；

【解析】函数y＝2x＋3的定义域为{x|x∈R}．

(2)f(x)＝；

【解析】要使函数式有意义，即分式有意义，则x＋1≠0，x≠－1.故函数的定义域为{x|x≠－1}．

(3)y＝＋；

【解析】要使函数式有意义，则即所以x＝1，从而函数的定义域为{x|x＝1}．

(4)y＝.

【解析】(4)因为当x2－1≠0，即x≠±1时，有意义，所以函数的定义域是{x|x≠±1}．