高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.1.2 复数的几何意义同步练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册10.1.2 复数的几何意义同步练习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝( )
A．8iB．6
C．6＋8iD．6－8i
2.eq \f(1＋2i,1－2i)＝( )
A．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)iB．－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i
C．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)iD．－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i
3．设z＝eq \f(3－i,1＋2i)，则|z|＝( )
A．2B.eq \r(3)
C.eq \r(2)D．1
4．若复数z满足eq \f(\(z,\s\up6(－)),1－i)＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－iB．1＋i
C．－1－iD．－1＋i
5．已知复数z＝eq \f(i1－3i,1＋i)，则其共轭复数eq \(z,\s\up6(－))的虚部为( )
A．－1B．1
C．－2D．2
6．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z( )
A．在实轴上B．在虚轴上
C．在第一象限D．在第二象限
7．在复平面内，复数z＝sin2＋ics2对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
8．设有下面四个命题
p1：若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq \(z,\s\up6(－))2；
p4：若复数z∈R，则eq \(z,\s\up6(－))∈R.
其中的真命题为( )
A．p1，p3B．p1，p4
C．p2，p3D．p2，p4
9．已知x∈R，复数z1＝1＋xi，z2＝2－i，若eq \f(z1,z2)为纯虚数，则实数x的值为( )
A．2B．－eq \f(1,2)
C．2或－eq \f(1,2)D．1
10．给出下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；③若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；④若z＝eq \f(1,i)，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限，其中正确命题的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
11．已知a是实数，eq \f(a＋i,1－i)是纯虚数，则a等于( )
A．－eq \r(2)B．－1
C.eq \r(2)D．1
12．设复数z＝1－eq \r(2)i(i是虚数单位)，则|z·eq \(z,\s\up6(－))＋eq \(z,\s\up6(－))|的值为( )
A．3eq \r(2)B．2eq \r(3)
C．2eq \r(2)D．4eq \r(2)
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．已知(x＋i)(1－i)＝y(其中x、y∈R)，则x＋y＝________.
14．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
15．若复数ω＝eq \f(－1＋\r(3)i,2)(i为虚数单位)，则ω2＋ω＋1＝________.
16．已知复数z1＝csx＋2f(x)i，z2＝(eq \r(3)sinx＋csx)＋i(x∈R，i为虚数单位)，在复平面上，设复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f(x)的最小正周期为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i，当实数m为何值时
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点在第二象限．
18．(本小题满分12分)若复数z满足方程：|z|2＋(z＋eq \(z,\s\up6(－)))i＝1－i(i为虚数单位)，求复数z.
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝eq \r(2)，z2的虚部为2，
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
20．(本小题满分12分)设虚数z满足|2z＋5|＝|z＋10|.
(1)求|z|的值；
(2)若(1－2i)z在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z.
21．(本小题满分12分)设复数z满足4z＋eq \(z,\s\up6(－))＝5eq \r(3)＋3i，ω＝sinθ＋csθi(θ∈R)．
(1)求z的值；
(2)设复数z和ω在复平面上对应的点分别是Z和W，求|ZW|的取值范围．
22．(本小题满分12分)设z是虚数，ω＝z＋eq \f(1,z)是实数，且－1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围．
(2)设u＝eq \f(1－z,1＋z)，求证：u为纯虚数；
(3)求ω－u2的最小值．
第十章 章末质量检测(二) 复数
1．解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.故选B.
答案：B
2．解析：∵eq \f(1＋2i,1－2i)＝eq \f(1＋2i2,5)＝eq \f(－3＋4i,5)，故选D.
答案：D
3．解析：因为z＝eq \f(3－i,1＋2i)，所以z＝eq \f(3－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(1,5)－eq \f(7,5)i，所以|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,5)))2)＝eq \r(2)，故选C.
答案：C
4．答案：A
解析：因为eq \f(\(z,\s\up6(－)),1－i)＝i，所以，eq \(z,\s\up6(－))＝i(1－i)＝1＋i，所以，z＝1－i.故选A.
答案：A
5．解析：依题意z＝eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(4－2i,2)＝2－i，故eq \(z,\s\up6(－))＝2＋i，其虚部为1.故选B.
答案：B
6．解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－1|＝|z＋1|，得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，
化简得x＝0.∴z＝yi，复数z对应的点在虚轴上，故选B.
答案：B
7．解析：∵sin2＞0，cs2＜0，∴z＝sin2＋ics2对应的点在第四象限，故选D.
答案：D
8．解析：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则由eq \f(1,z)＝eq \f(1,a＋bi)＝eq \f(a－bi,a2＋b2)∈R得b＝0，所以z∈R，故p1正确；
当z＝i时，因为z2＝i2＝－1∈R，而z＝i∉R，故p2不正确；
当z1＝z2＝i时，满足z1·z2＝－1∈R，但z1≠eq \(z,\s\up6(－))2，故p3不正确；
对于p4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确，故选B.
答案：B
9．解析：根据复数除法运算，化简
eq \f(z1,z2)＝eq \f(1＋xi,2－i)＝eq \f(1＋xi2＋i,2－i2＋i)
＝eq \f(2－x,5)＋eq \f(2x＋1,5)i
因为eq \f(z1,z2)为纯虚数
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x＝0,2x＋1≠0))，解得x＝2
故选A.
答案：A
10．解析：命题①：当z＝i时，显然i2＝－1<0，因此本说法不正确；
命题②：当a＝－1时， (a＋1)i＝0∈R，因此本说法不正确；
命题③：只有当两个复数都是实数时才能比较大小，因此由a>b，推不出a＋i>b＋i，因此本说法不正确；
命题④：因为z＝eq \f(1,i)＝eq \f(i,i·i)＝－i，所以z3＋1＝(－i)3＋1＝－i3＋1＝1＋i，故z3＋1对应的点在复平面内的第一象限，因此本命题是正确的．故选A.
答案：A
11．解析：由题意可知：eq \f(a＋i,1－i)＝eq \f(a＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(a－1＋a＋1i,2)，
eq \f(a＋i,1－i)为纯虚数，则：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＝0,a＋1≠0))，解得a＝1.故选D.
答案：D
12．解析：∵z＝1－eq \r(2)i，eq \(z,\s\up6(－))＝1＋eq \r(2)i，
∴z·eq \(z,\s\up6(－))＝1－2i2＝3，
∴z·eq \(z,\s\up6(－))＋eq \(z,\s\up6(－))＝4＋eq \r(2)i，
∴|4＋eq \r(2)i|＝eq \r(42＋\r(2)2)＝3eq \r(2)，故选A.
答案：A
13．解析：(x＋i)(1－i)＝y⇒(x＋1)＋(1－x)i＝y⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝y,1－x＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2))⇒x＋y＝3..
答案：3
14．解析：∵(a＋2i)(1＋i)＝a＋ai＋2i＋2i2＝a－2＋(a＋2)i的实部为0，
∴a－2＝0得a＝2.
答案：2
15．解析：由题意，复数ω＝eq \f(－1＋\r(3)i,2)，可得ω2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋\r(3)i,2)))2＝eq \f(－1－\r(3)i,2)，所以ω2＋ω＋1＝eq \f(－1－\r(3)i,2)＋eq \f(－1＋\r(3)i,2)＋1＝0.
故答案为0.
答案：0
16．解析：z1＝csx＋2f(x)i，z2＝(eq \r(3)sinx＋csx)＋i，∠Z1OZ2＝90°，
则(eq \r(3)sinx＋csx)csx＋2f(x)＝0，∴f(x)＝－eq \f(1,2)(eq \r(3)sinx＋csx)csx
f(x)＝－eq \f(\r(3),2)sinxcsx－eq \f(1,2)cs2x＝－eq \f(\r(3),4)sin2x－eq \f(1,4)cs2x－eq \f(1,4)＝－eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,4)
函数f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π
故答案为π.
答案：π
17．解析：(1)当z是实数时，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1，
∴所求的m值为2或－1；
(2)当z是纯虚数时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－2≠0,m2＋m－6＝0))，解得m＝－3，
∴所求的m值为－3；
(3)当z对应的点在第二象限时，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－2>0,m2＋m－6<0))，解得－3∴实数m的取值范围是(－3，－1)．
18．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则由|z|2＋(z＋eq \(z,\s\up6(－)))i＝1－i，得：a2＋b2＋2ai＝1－i
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1,2a＝－1))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2),b＝－\f(\r(3),2)))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2),b＝\f(\r(3),2)))
故z＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i或z＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i.
19．解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知可得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(a2＋b2)＝\r(2),2ab＝2))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝2,ab＝1))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1,b＝－1)).∴z＝1＋i或z＝－1－i；
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
∴A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2×1＝1；
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
∴A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
故△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2×1＝1.
∴△ABC的面积为1.
20．解析：(1)设z＝x＋yi(x、y∈R，i为虚数单位)，
则2z＋5＝(2x＋5)＋2yi，z＋10＝(x＋10)＋yi，
由|2z＋5|＝|z＋10|得eq \r(2x＋52＋4y2)＝eq \r(x＋102＋y2)，化简得x2＋y2＝25，
因此，|z|＝eq \r(x2＋y2)＝5；
(2)∵(1－2i)z＝(1－2i)(x＋yi)＝(x＋2y)＋(y－2x)i，
由于复数(1－2i)z在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则x＋2y＝y－2x，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－3x,x2＋y2＝25))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(10),2),y＝－\f(3\r(10),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(10),2),y＝\f(3\r(10),2))).
因此，z＝eq \f(\r(10),2)－eq \f(3\r(10),2)i或z＝－eq \f(\r(10),2)＋eq \f(3\r(10),2)i.
21．解析：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \(z,\s\up6(－))＝a－bi，代入4z＋eq \(z,\s\up6(－))＝5eq \r(3)＋3i化简得5a＋3bi＝5eq \r(3)＋3i，
∴由复数相等可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5a＝5\r(3),3b＝3))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(3)，,b＝1，))∴z＝eq \r(3)＋i；
(2)由z＝eq \r(3)＋i和ω＝sinθ＋csθi在复平面内对应的点为Z(eq \r(3)，1)和W(sinθ，csθ)，
∴|ZW|2＝(eq \r(3)－sinθ)2＋(1－csθ)2＝－2eq \r(3)sinθ－2csθ＋5＝－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＋5
∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))∈[－1,1], ∴－4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＋5∈[1,9]
∴|ZW|∈[1,3]．
22．解析：(1)因为z是虚数，∴可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
∴ω＝z＋eq \f(1,z)＝x＋yi＋eq \f(1,x＋yi)＝x＋yi＋eq \f(x－yi,x2＋y2)＝x＋eq \f(x,x2＋y2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(y,x2＋y2)))i
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－\f(y,x2＋y2)＝0,y≠0))⇒x2＋y2＝1⇒|z|＝1，
此时，ω＝2x，由－1＜ω＜2，得－eq \f(1,2)(2)∵u＝eq \f(1－z,1＋z)＝eq \f(1－x＋yi,1＋x＋yi)＝eq \f(1－y2－x2－2yi,1＋2x＋x2＋y2)＝eq \f(－yi,x＋1)，
因为y≠0，所以u为纯虚数；
(3)ω－u2＝2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,1＋x)i))2，然后化简和计算得到
ω－u2＝2(x＋1)＋eq \f(2,1＋x)－3≥2eq \r(2x＋1·\f(2,1＋x))－3＝1.
当且仅当x＋1＝eq \f(1,x＋1)，即x＝0时等号成立，故ω－u2的最小值为1.