数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习

2.5.2　圆与圆的位置关系

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.两圆x2+y2-2x-2y=0和x2+y2-6x+2y+6=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　)

A.x+y+3=0 B.x-y+2=0

C.x+y-2=0 D.2x-y-1=0

解析AB的垂直平分线就是两圆的连心线,两圆的圆心分别为(1,1),(3,-1),过两圆圆心的直线方程为x+y-2=0.

答案C

2.若圆x2+y2-2x+F=0和圆x2+y2+2x+Ey-4=0的公共弦所在的直线方程是x-y+1=0,则(　　)

A.E=-4,F=8 B.E=4,F=-8

C.E=-4,F=-8 D.E=4,F=8

解析联立

②-①可得4x+Ey-F-4=0,

即x+y-=0,

由两圆的公共弦所在的直线方程为x-y+1=0,

得解得

答案C

3.已知两圆相交于A(1,3),B(m,-1)两点,两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+2c的值为(　　)

A.-1 B.1 C.3 D.0

解析由题意知,直线x-y+c=0为线段AB的垂直平分线,且AB的中点,1在直线x-y+c=0上,

∴-1+c=0,∴m+2c=1.

答案B

4.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为 (　　)

A.2 B. C. D.

解析由题意得,圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-a,2),半径r1=1.

圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2.

∵圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,

∴|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得ab≤2=,当且仅当a=b=时,等号成立.故选B.

答案B

5.若圆x2+y2-2ax+a2=2和圆x2+y2-2by+b2=1相外离,则a,b满足的条件是　. 

解析两圆的连心线的长为d=.

∵两圆相外离,∴d>+1,

∴a2+b2>3+2.

答案a2+b2>3+2

6.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是　　　　　. 

解析∵点A(a,b)在圆x2+y2=4上,∴a2+b2=4.

又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,

圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,

则|C1C2|==2,

∴|C1C2|=r1+r2.∴两圆外切.

答案外切

7.(1)求圆心在直线y=-2x上,且与直线y=-x+1相切于点P(2,-1)的圆的方程;

(2)求与圆x2+y2-2x-4y=0外切于点(2,4)且半径为2的圆的方程.

解(1)过点P(2,-1)且与直线y=-x+1垂直的直线为x-y-3=0,

由求得

即圆心C(1,-2),半径r=|CP|=,

所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.

(2)圆方程化为(x-1)2+(y-2)2=5,得该圆圆心为(1,2),半径为,故两圆连心线斜率k==2.

设所求圆心为(a,b),

所以

解得(舍去)

所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-8)2=20.

关键能力提升练

8.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)

A.(x-5)2+(y+7)2=25

B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15

C.(x-5)2+(y+7)2=9

D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9

解析设动圆圆心(x,y),则若两圆内切,则有=4-1=3,即(x-5)2+(y+7)2=9;若两圆外切,则有=4+1=5,即(x-5)2+(y+7)2=25.

答案D

9.已知点M(-2,0),N(2,0),若圆x2+y2-6x+9-r2=0(r>0)上存在点P(不同于M,N),使得PM⊥PN,则实数r的取值范围是(　　)

A.(1,5) B.[1,5] C.(1,3) D.[1,3]

解析由PM⊥PN得,点P在以MN为直径的圆上(不同于M,N),

以MN为直径的圆的方程为x2+y2=4.

由x2+y2-6x+9-r2=0得(x-3)2+y2=r2(r>0),

所以两圆的圆心距d=3,依题意得,|r-2|<3<r+2,解得1<r<5.

答案A

10.圆C1:(x-2)2+(y-3)2=4与圆C2:(x-a)2+(y-4)2=16外离,过原点O分别作两个圆的切线l1,l2,若l1,l2的斜率之积为-1,则实数a的值为(　　)

A. B.- C.-6 D.6

解析两圆外离,则>2+4,

即(a-2)2>35,

设与圆C1相切的直线l1的方程为y=kx,

则=2,解得k=,

则与圆C2相切的直线l2的斜率k'=-=-,

直线l2的方程为y=-x,即12x+5y=0,

所以=4,

解得a=-6或a=,

结合(a-2)2>35可知a=-6,故选C.

答案C

11.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆O:x2+y2=上的动点,点F是圆C:(x-3)2+(y+1)2=上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为(　　)

A.2 B. C.3 D.4

解析易得点P(t,t-1)在直线x-y-1=0上.

设圆O关于直线x-y-1=0对称的圆为圆C1,则C1:(x-1)2+(y+1)2=.

由几何知识知,当F,E1,P共线时,|PF|-|PE|=|PF|-|PE1|=|E1F|=|C1C|+=4.故选D.

答案D

12.(多选题)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　)

A.(x+2)2+(y+2)2=9 

B.(x-2)2+(y+2)2=9

C.(x-2)2+(y-2)2=25 

D.(x-2)2+(y+2)2=49

解析由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2.

A项,圆心C1(-2,-2),半径r1=3,

∵|C1C|=∈(r1-r,r1+r),

∴两圆相交;B项,圆心C2(2,-2),半径r2=3,

∵|C2C|=5=r+r2,

∴两圆外切,满足条件;

C项,圆心C3(2,2),半径r3=5,

∵|C3C|=3=r3-r,∴两圆内切;

D项,圆心C4(2,-2),半径r4=7,

∵|C4C|=5=r4-r,∴两圆内切.

答案BCD

13.(多选题)若圆C1:x2+y2=1和圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0没有公共点,则实数k的取值可能是(　　)

A.-16 B.-9 

C.11 D.12

解析化圆C2:x2+y2-6x-8y-k=0为(x-3)2+(y-4)2=25+k,则k>-25,圆心坐标为(3,4),半径为;

圆C1:x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),半径为1.

要使圆C1和圆C2没有公共点,则|C1C2|>+1或|C1C2|<-1,

即5>+1或5<-1,

解得-25<k<-9或k>11.

∴实数k的取值范围是(-25,-9)∪(11,+∞).

满足这一范围的有A和D.

答案AD

14.已知圆C:x2+y2=1,过点P向圆C引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为　　　　　　　;若P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点　　　　　. 

解析圆C:x2+y2=1的圆心坐标为C(0,0),

则以C(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,,

半径为r=.

可得以CP为直径的圆的方程为(x-1)2+y-2=,即x2+y2-2x-y=0,

两圆的方程相减可得直线AB的方程2x+y-1=0.

因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,

设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆C的切线,

所以CA⊥PA,CB⊥PB,所以AB是圆C与以PC为直径的两圆的公共弦,以PC为直径的圆的方程为[x-(2-m)]2+y-2=(2-m)2+,

又由圆C的方程为x2+y2=1,

两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,

可得满足上式,即AB过定点.

答案2x+y-1=0　

15.已知圆C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线,若a,b∈R且ab≠0,则的最小值为　　　　　. 

解析由题意知两圆内切,根据两圆分别为C1:x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0,得圆心分别为(-2a,0)和(0,b),半径分别为2和1,故有=1,所以4a2+b2=1,所以=(4a2+b2)=5+≥5+2=9,当且仅当,即b2=2a2=时,等号成立.

所以的最小值为9.

答案9

16.在平面直角坐标系Oxy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线方程;

(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.

解(1)由得圆心C(3,2).

∵圆C的半径为1,

∴圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.

过点A作圆C的切线,显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,

∴=1,∴|3k+1|=,

∴2k(4k+3)=0,

∴k=0或k=-,∴所求圆C的切线方程为y-3=0或3x+4y-12=0.

(2)∵圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,

∴设圆心C(a,2a-4),

则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.

又|MA|=2|MO|,∴设M(x,y),则=2,

整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,

∴点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,

∴2-1≤≤2+1,

解得0≤a≤,所以a的取值范围为0,.

学科素养创新练

17.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切.

(1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径.

(2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程,若没有,说明理由.

解(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a),则半径r=,两圆的圆心距为|a-1|=r,

因为两圆外切,所以r=r+9,∴r=+1.

(2)有.如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2),

①若斜率不存在,则直线方程为x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=,由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线,

②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1),

则d==r=对任意的a都成立,,

两边平方并化简得k2-8k+7=0,解得k=1或k=7,

当k=1时,直线与l1重合,

当k=7时,直线方程为7x-y-5=0,

故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0.