人教A版 (2019)3.2 双曲线习题

3.2.2　双曲线的简单几何性质

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(2019北京,文5)已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=(　　)

A. B.4 C.2 D.

解析∵双曲线的离心率e=,c=,

∴,解得a=,故选D.

答案D

2.(多选题)下列双曲线中,以2x±3y=0为渐近线的是 (　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析令等式右端为0,解得A,B,D中的渐近线方程均为2x±3y=0,C项中渐近线方程为3x±2y=0.

答案ABD

3.已知双曲线方程为x2-=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则直线l共有(　　)

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

解析因为双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,所以过点P(1,0)且与双曲线只有一个公共点的直线方程为x=1或y=2x-2或y=-2x+2,共有3条.故选B.

答案B

4.(多选题)已知双曲线的方程为=1,则下列说法正确的是(　　)

A.焦点在y轴上

B.渐近线方程为2x±y=0

C.虚轴长为4

D.离心率为

解析双曲线的方程为=1,则双曲线焦点在y轴上;渐近线方程为2x±y=0;

虚轴长为2;离心率为,判断知AB正确.

答案AB

5.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的(　　)

A.焦距相同 B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等 D.离心率相等

解析由于0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(±,0),

故两曲线的焦距相同,故选A.

答案A

6.已知双曲线=1的实轴长、虚轴长、焦距构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为　　　　　. 

解析依题意有2a,2b,2c成等差数列,所以4b=2a+2c.

因为c2=a2+b2,所以(2b-a)2=a2+b2,解得a=b,于是双曲线渐近线方程为y=±x=±x.

答案y=±x

7.过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=　　　　　. 

解析依题意,得双曲线的左焦点F1的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=(x+2).

由得8x2-4x-13=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-,

所以|AB|=·|x1-x2|

=

=

=3.

答案3

8.双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,求△AFB的面积.

解由题意得,双曲线=1的右顶点A(3,0),右焦点F(5,0),渐近线方程为y=±x.

不妨设直线FB的方程为y=(x-5),代入双曲线方程并整理,得x2-(x-5)2=9,

解得x=,y=-,所以B,-.

所以S△AFB=|AF||yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×.

9.求适合下列条件的双曲线的标准方程:

(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;

(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.

解(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),

则2b=8,e=,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.

(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,

解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.

关键能力提升练

10.过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ,F1是另一焦点,若∠PF1Q=,则双曲线的离心率等于 (　　)

A.-1 B. 

C.+1 D.+2

解析不妨设双曲线标准方程为=1(a>0,b>0),依题意知直线PQ所在直线方程为x=c,代入双曲线方程得|PQ|=.

因为∠PF1Q=,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=,于是2ac=b2=c2-a2,所以e2-2e-1=0,解得e=+1或e=1-(舍去),故选C.

答案C

11.已知双曲线=1(a>0,b>0),过原点作一条倾斜角为的直线分别交双曲线左、右两支于P,Q两点,以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则双曲线离心率为(　　)

A.+1 B.+1 

C.2 D.

解析设P(x1,y1),Q(x2,y2),依题意,直线PQ的方程为y=x,代入双曲线方程并化简,得x2=,y2=3x2=,故x1+x2=0,x1·x2=,y1·y2=3x1·x2=,设焦点坐标为F(c,0),由于以线段PQ为直径的圆经过点F,故=0,即(x1-c,y1)·(x2-c,y2)=0,即4x1x2+c2=0,

即b4-6a2b2-3a4=0,两边除以a4,得-6-3=0,解得=3+2.故c=+1,故选B.

答案B

12.(2020海南海口海南中学高二上期中)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为              (　　)

A.=1 

B.=1

C.=1 

D.=1

解析∵双曲线C的一条渐近线方程为y=x,

∴设双曲线的标准方程为=λ(λ>0),

∴a2=4λ,b2=5λ,从而c2=9λ.

又双曲线C与椭圆有公共焦点,

∴c2=9λ=12-3=9,即λ=1.

因此C的方程为=1.故选B.

答案B

13.(2020重庆一中高二上期中)已知双曲线方程为2x2-y2=2,则以点A(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(　　)

A.4x-3y+1=0 

B.2x-y-1=0

C.3x-4y+6=0 

D.x-y+1=0

解析设弦的两端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),则2=2,2=2,两式相减得,2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.

又x1+x2=4,y1+y2=6,

∴8(x1-x2)-6(y1-y2)=0,即kPQ=.

因此直线PQ的方程为y-3=(x-2),即4x-3y+1=0.

经验证,直线4x-3y+1=0与双曲线相交.

因此适合题意的直线方程为4x-3y+1=0,

故选A.

答案A

14.(多选题)已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程可能为(　　)

A.-y2=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析依题意,知渐近线与x轴的夹角为30°或60°,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x或y=±x,根据选项检验可知ABD均可能.

答案ABD

15.(多选题)(2020山东师大附中高二上第五次学分认定考试)已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,P是双曲线上异于双曲线顶点的一点,且=0,则下列结论正确的是(　　)

A.双曲线C的渐近线方程为y=±x

B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1

C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为1

D.△PF1F2的面积为1

解析易得双曲线C的渐近线方程为y=±x,故A正确;由a=b=1得c=,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误;不妨设F1(-,0),则F1到双曲线的一条渐近线的距离d==1,故C正确;由=0得,PF1⊥PF2,因此点P在圆x2+y2=2上,由得y2=,∴|y|=,因此,|F1F2|·|y|=×2=1,

故D正确.故选ACD.

答案ACD

16.已知l为双曲线C:=1的一条渐近线,其倾斜角为,且C的右焦点为(2,0),则C的右顶点为　　　　　;C的方程为　　　　　. 

解析由题意可得c=2,即a2+b2=4,一条渐近线的斜率为k==tan=1,

解得a=b=,则双曲线的右顶点为(,0),C的方程为=1.

答案(,0)　=1

17.(2020山东潍坊高二上期末)已知F为双曲线E:=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F向双曲线E的一条渐近线引垂线,垂足为A,且交另一条渐近线于点B,若|OF|=|FB|,则双曲线E的离心率是　　　　　. 

解析如图所示,过F向另一条渐近线引垂线,垂足为D.

由题意得,双曲线的渐近线方程为y=±x,

则F(c,0)到渐近线的距离d==b,

即|FA|=|FD|=b,

则|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.

∵△OFB为等腰三角形,

∴D为OB的中点,∴|OB|=2a.

∵AB⊥OA,

∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,

即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2-bc-2b2=0,

∴c=2b.则2a=c,

∴e=.

答案

18.已知点A(-,0)和B(,0),动点C到A,B两点的距离之差的绝对值为2.

(1)求点C的轨迹方程;

(2)点C的轨迹与经过点(2,0)且斜率为1的直线交于D,E两点,求线段DE的长.

解(1)∵点A(-,0)和B(,0),

动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2.

|AB|=2>2,

∴点C的轨迹方程是以A(-,0)和B(,0)为焦点的双曲线,且a=1,c=,

∴点C的轨迹方程是x2-=1.

(2)∵点C的轨迹方程是2x2-y2=2,经过点(2,0)且斜率为1的直线方程为y=x-2.

∴联立得x2+4x-6=0,

设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,

∴|DE|==4.

故线段DE的长为4.

学科素养创新练

19.已知点F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程;

(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P,Q两点,无论直线l绕点F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值.

解(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,点P的轨迹E是以F1,F2为焦点的双曲线的右支,

设轨迹E的方程为=1(x≥1),a>0,b>0.

∵c=2,2a=2,∴b2=3,故轨迹E的方程为x2-=1(x≥1).

(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,

∴解得k2>3.

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)·(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)

=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2

=+m2+4k2

=.

∵MP⊥MQ,∴=0,

故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2>3恒成立,∴

解得m=-1.∴当m=-1时,MP⊥MQ.

当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立,

综上,当m=-1时,MP⊥MQ.