人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试同步练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试同步练习题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第三章测评(一)
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为(　　)
　　　　　　　　　　　　
A.2 B.22 C.4 D.42
解析由椭圆M:x2+y24=λ经过点(1,2)可得λ=2,
即椭圆的方程为x22+y28=1,则a=22,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点的距离之和为2a=42.
答案D
2.(2020广东茂名期末)已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是(　　)
A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)
解析因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,
所以-p2=-2,得p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).
答案C
3.已知双曲线x29-y2m=1的一条渐近线的方程为y=23x,则双曲线的焦距为(　　)
A.13 B.10 C.213 D.25
解析由题意得m3=23,得m=4,
则双曲线的焦距为29+m=213.
答案C
4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为(　　)
A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=16
C.(x-2)2+y2=16 D.(x+2)2+y2=4
解析根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上且p=2,
则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,
以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,
则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.
答案A
5.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率是43,且∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积是7,则a+b是(　　)
A.3+7 B.9+7 C.10 D.16
解析由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,
则12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,∴a=3,c=4,∴b=c2-a2=7,
∴a+b=3+7.
答案A
6.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(　　)
A.13 B.223 C.23 D.23
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),
易知x1>0,x2>0,y1>0,y2>0.
由y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,
所以x1x2=4,①
根据抛物线的定义得,
|FA|=x1+p2=x1+2,|FB|=x2+2.
因为|FA|=2|FB|,所以x1=2x2+2,②
由①②得x2=1(x2=-2舍去),
所以B(1,22),代入y=k(x+2)得k=223.
答案B
7.

我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点.若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,则a,b的值分别为(　　)
A.72,1 B.3,1
C.5,3 D.5,4
解析|OF2|=b2-c2=12,
|OF0|=c=3|OF2|=32,
∴b=1,∴a2=b2+c2=74,
得a=72,即a=72,b=1.
答案A
8.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-y24=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(　　)
A.a2=132 B.a2=13
C.b2=12 D.b2=2
解析由题意,知a2-b2=5,
因此椭圆方程为(a2-5)x2+a2y2+5a2-a4=0,
双曲线的一条渐近线方程为y=2x,
联立方程消去y,得(5a2-5)x2+5a2-a4=0,
所以直线截椭圆的弦长d=5×2a4-5a25a2-5=23a,
解得a2=112,b2=12.
答案C
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.当α∈π4,3π4时,方程x2sin α+y2cos α=1表示的轨迹可以是(　　)
A.两条直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
解析当α∈π4,3π4时,sinα∈22,1,cosα∈-22,22,
可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线可以是椭圆(sinα>0,cosα>0),也可以是双曲线(sinα>0,cosα<0),也可以是两条直线(sinα=1,cosα=0).
答案ACD
10.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则能使双曲线C的方程为x216-y29=1的是(　　)
A.离心率为54
B.双曲线过点5,94
C.渐近线方程为3x±4y=0
D.实轴长为4
解析双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),可得c=5.
如果离心率为54,可得a=4,则b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故A正确;
c=5,双曲线过点5,94,可得25=a2+b2,25a2-8116b2=1,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故B正确;
c=5,渐近线方程为3x±4y=0,可得a2+b2=25,ba=34,解得a=4,b=3,所以双曲线C的方程为x216-y29=1,故C正确;
c=5,实轴长为4,可得a=2,b=21,双曲线C的方程为x24-y221=1,故D不正确.
答案ABC
11.已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是(　　)
A.1|AF|+1|BF|=1 B.|AF|=6
C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点
解析如图,Fp2,0,设A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B分别向准线作垂线,交点为A',B',直线l的斜率为3,则直线方程为y=3x-p2,

联立y2=2px,y=3x-p2,得12x2-20px+3p2=0,
解得xA=3p2,xB=p6.
由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=8p3=8,得p=3.
所以抛物线方程为y2=6x.
则|AF|=xA+p2=2p=6,故B正确;
所以|BF|=2,1|AF|+1|BF|=23,故A错误;
|BD|=|BF|cos60°=4,则|BD|=2|BF|,故C正确;
所以|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确.
答案BCD
12.如图,已知椭圆C1:x24+y2=1,过抛物线C2:x2=4y焦点F的直线交抛物线于M,N两点,连接NO,MO并延长分别交C1于A,B两点,连接AB,△OMN与△OAB的面积分别记为S△OMN,S△OAB.则下列说法正确的是(　　)

A.若记直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2的大小是定值-14
B.△OAB的面积S△OAB是定值1
C.线段OA,OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值4
D.设λ=S△OMNS△OAB,则λ≥2
解析F(0,1),设直线MN的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2).
联立方程组y=kx+1,x2=4y,消元得x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4,
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,
∴k1k2=y2x2·y1x1=y1y2x1x2=-14,故A正确;
设直线OA的方程为y=mx(m>0),
则直线OB的方程为y=-14mx,
联立方程组y=mx,x24+y2=1,解得x2=41+4m2,
则A-21+4m2,-2m1+4m2,
同理可得B21+14m2,-12m1+14m2,
∴A到OB的距离d=21+4m2+8m21+4m21+16m2=2+8m21+4m21+16m2.
又|OB|=41+14m2+14m21+14m2=16m2+14m2+1,
∴S△OAB=12·|OB|·d=12·16m2+14m2+1·2+8m21+4m21+16m2=1,故B正确;
又|OA|2=41+4m2+4m21+4m2=4+4m21+4m2,|OB|2=16m2+14m2+1,
∴|OA|2+|OB|2=5+20m21+4m2=5,故C不正确;
联立方程组y=mx,x2=4y,可得x(x-4m)=0,故N(4m,4m2),
∴|ON|=4mm2+1,
同理可得M-1m,14m2,
∴M到直线OA的距离h=-1-14m2m2+1=1+14m21+m2,
∴S△OMN=12·|ON|·h=2m1+14m2=2m+12m≥2,当且仅当2m=12m,即m=12时,等号成立.
∴λ=S△OMNS△OAB=S△OMN≥2,故D正确.
答案ABD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.抛物线y2=2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=　　　　　. 
解析依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x0≥0),
则|QF|=x0+p2的最小值是p2=1,则p=2.
答案2
14.若等轴双曲线C的左顶点A,右顶点B分别为椭圆x2a2+1+y2=1(a>0)的左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=.
解析依题意,椭圆x2a2+1+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为A(-a,0),B(a,0),
所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2.
设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y)(x≠±a),
则直线PA,PB的斜率分别为k1=yx+a,k2=yx-a,
所以k1k2=yx+a·yx-a=y2x2-a2=1.
答案1
15.已知F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=bax交椭圆于A,B两点,若cos∠AFB=13,则椭圆C的离心率是　　　　　. 
解析如图,过点A作AM垂直x轴于点M,过点B作BN垂直x轴于点N,

联立y=bax,b2x2+a2y2=a2b2,
解得A22a,22b.
∴|AM|=|BN|=22b,|MF|=c-22a,
|NF|=c+22a.
∵cos∠AFB=13,∴tan∠AFB=22.
tan∠AFM=|AM||MF|,tan∠BFN=|BN||FN|,
则tan∠AFB=tan∠AFM+tan∠BFN1-tan∠AFM·tan∠BFN=22.
即2b2c-22a+2b2c+22a=221-2b2c-22a·2b2c+22a,化简得c2-bc-2b2=0,解得c=2b,
故e=ca=cc2+b2=255.
答案255
16.如图,过抛物线y2=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若FC=3FB,则直线AB的方程为　　　　　,|AB|=　　　　　. 

解析抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,
设C(-1,m),B(x1,-2x1),A(x2,2x2),
∵FC=3FB,∴(-2,m)=3(x1-1,-2x1)=(3x1-3,-6x1),则有3x1-3=-2,m=-6x1,解得x1=13,m=-23,
则C(-1,-23),则直线AB的斜率k=232=3,则直线AB的方程为y=3(x-1),即3x-y-3=0.
将y=3(x-1)代入y2=4x得3x2-10x+3=0,得x1+x2=103,即|AB|=x1+x2+2=103+2=163.
答案3x-y-3=0　163
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设A,B分别是双曲线x225-y220=1的两渐近线上的动点,且|AB|=25,设O为坐标原点,动点P满足OP=OA+OB,求动点P的轨迹方程.
解设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),
∵动点P满足OP=OA+OB,∴x=x1+x2,y=y1+y2.
∵A,B分别是双曲线x225-y220=1的两渐近线上的动点,
∴令y1=255x1,y2=-255x2,
∴x=x1+x2=52(y1-y2),y=y1+y2=255(x1-x2),
∴|AB|=52y2+25x2=25,
化简可得动点P的轨迹方程为x225+y216=1.
18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23,左、右焦点分别为F1,F2,且过点P3,12.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率大于0且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点,若MF2=3F2N,求直线l的方程.
解(1)由题意得c=3,焦点F1(-3,0),F2(3,0),
2a=|PF1|+|PF2|=(3-3)2+12-02+(3+3)2+12-02=4,
则a=2,b=a2-c2=1,
故椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)设直线l的方程为x=my+3(m>0),代入椭圆方程得(m2+4)y2+23my-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
Δ=16(m2+1)>0恒成立,由根与系数的关系可得y1+y2=-23mm2+4,y1y2=-1m2+4.①
由MF2=3F2N,得y1=-3y2,②
由①②可得m=22.
故直线l的方程为2x-2y+23=0.
19.(12分)(2020四川雅安期末)已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.
(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为483,求此双曲线的方程.
解(1)双曲线的渐近线方程为bx±ay=0,
则点F2(c,0)到渐近线的距离为|bc±0|b2+a2=b(其中c是双曲线的半焦距),
由题意知c+a=2b.又因为a2+b2=c2,
解得b=43a,
故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0.
(2)因为∠F1PF2=60°,
由余弦定理得
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|=4c2.①
又由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,
平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,②
①-②得|PF1|·|PF2|=4c2-4a2=4b2.
根据三角形的面积公式得
S=12|PF1|·|PF2|sin60°=34·4b2=3b2=483,
得b2=48.再由(1)得a2=916b2=27,
故所求双曲线方程是x227-y248=1.
20.(12分)(2020山东烟台段考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在抛物线上,且A的横坐标为4,|AF|=5.
(1)求抛物线的方程;
(2)设l为过点(4,0)的任意一条直线,若l交抛物线于A,B两点,求证:以AB为直径的圆必过坐标原点.
(1)解抛物线y2=2px(p>0)的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2,
由抛物线的定义可得,|AF|=4+p2=5,
解得p=2,
即抛物线的方程为y2=4x.
(2)证明设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
将x=my+4代入抛物线方程y2=4x,可得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0恒成立,
y1+y2=4m,y1y2=-16,
x1x2=y124·y224=16,
即有x1x2+y1y2=0,则OA⊥OB,则以AB为直径的圆必过坐标原点.
21.(12分)

如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套的一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①②③三个区域面积彼此相等.已知:椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)面积为S椭圆=πab
(1)求椭圆的离心率的值.
(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M的轨迹方程.
解(1)建立平面直角坐标系,如图.

设外椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),
∵内、外椭圆有相同的离心率,
∴内椭圆的方程为y2b2+x2b4a2=1.
图中标记的①②③三个区域面积彼此相等,由对称性可知πab=3πbb2a,即a2=3b2,则a2=3(a2-c2),∴e=63.
(2)同(1)建立平面直角坐标系,由于外椭圆长轴长为6,
∴a=3,又e=63,∴c=6,b2=3.
则外椭圆方程为x29+y23=1.
当两切线不与坐标轴垂直时,设点M(x0,y0),切线方程分别为y-y0=k1(x-x0),y-y0=k2(x-x0),切线统一记为y-y0=k(x-x0),代入椭圆方程得(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-9=0.
∵直线y-y0=k(x-x0)与椭圆x29+y23=1相切,
∴Δ=36k2(y0-kx0)2-4(1+3k2)[3(y0-kx0)2-9]=0.
化简得(x0-9)k2-2x0y0k+y02-3=0,则方程的两根为k1,k2.
∵两条切线互相垂直,∴k1k2=-1,
即y02-3x02-9=-1,即x02+y02=12(x0≠±3).
当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±3),(-3,±3)也满足方程,∴轨迹方程为x2+y2=12.
22.(12分)给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为a2+b2的圆是椭圆C的“卫星圆”.若椭圆C的离心率为22,点(2,2)在C上.
(1)求椭圆C的方程和其“卫星圆”的方程;
(2)点P是椭圆C的“卫星圆”上的一个动点,过点P作直线l1,l2,使得l1,l2与椭圆C都只有一个交点,且l1,l2分别交其“卫星圆”于点M,N(异于点P).求证:弦长|MN|为定值.
(1)解由条件可得ca=22,4a2+2b2=1,解得a=22,b=2,
所以椭圆的方程为x28+y24=1,
其“卫星圆”的方程为x2+y2=12.
(2)证明①当l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设l1斜率不存在,因为l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为x=22或x=-22,当l1方程为x=22时,此时l1与“卫星圆”交于点(22,2)和(22,-2),
此时经过点(22,2)或(22,-2)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=2或y=-2,即l2为y=2或y=-2,
所以l1⊥l2,
所以线段MN应为“卫星圆”的直径,所以|MN|=43.
②当l1,l2的斜率都存在时,设点P(x0,y0),其中x02+y02=12,设经过点P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线分别为y=t1(x-x0)+y0,y=t2(x-x0)+y0,统一记为y=t(x-x0)+y0,
联立方程组y=tx+(y0-tx0),x28+y24=1,消去y,
整理得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0,
所以Δ=(64-8x02)t2+16x0y0t+32-8y02=0,则方程的两根为t1,t2,
所以t1t2=32-8y0264-8x02=32-8(12-x02)64-8x02=-1,
满足条件的两直线l1,l2垂直.
所以线段MN应为“卫星圆”的直径,
所以|MN|=43.
综合①②知,弦长|MN|为定值43.