数学必修 第四册第九章 解三角形9.2 正弦定理与余弦定理的应用精练

这是一份数学必修 第四册第九章 解三角形9.2 正弦定理与余弦定理的应用精练，共18页。试卷主要包含了2　正弦定理与余弦定理的应用，在△ABC中，sinA，在△ABC中，必有等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝3：4：5，则△ABC是( )
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
2．(1)若acsB＝bcsA，则△ABC是________三角形；
(2)若acsA＝bcsB，则△ABC是________三角形.
3.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccsA＋cacsB＋abcsC，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”)
5.在△ABC中，必有( )
A．sinA＋sinB＜0B．sinA＋csB＜0
C．sinA＋csB＞0D．csA＋csB＞0
6．若在锐角△ABC中，B＝2A，则A的取值范围是________．
7．锐角△ABC中，B＝60°，b＝eq \r(3)，求△ABC面积S的取值范围．
一、选择题
1．在△ABC中，cseq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A．4eq \r(2)B.eq \r(30)
C.eq \r(29)D．2eq \r(5)
2．在△ABC中，A＝eq \f(π,3)，BC＝3，AB＝eq \r(6)，则C等于( )
A.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)B.eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,6)
3．已知△ABC中，sinA：sinB：sinC＝k：(k＋1)：2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
4．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2，最大角的正弦值为eq \f(\r(3),2)，则这个三角形的面积为( )
A.eq \f(15,4)B.eq \f(15\r(3),4)
C.eq \f(21\r(3),4)D.eq \f(35\r(3),4)
5．(易错题)△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lgeq \r(2)且B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB＋sinA(sinC－csC)＝0，a＝2，c＝eq \r(2)，则C等于( )
A.eq \f(π,12)B.eq \f(π,6)
C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,3)
二、填空题
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq \r(3)，sinB＝eq \f(1,2)，C＝eq \f(π,6)，则b＝________.
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
9．(探究题)若△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；eq \f(c,a)的取值范围是________．
三、解答题
10．在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝eq \f(2π,3)，c＝eq \r(3)，求△ABC周长的取值范围．
1．(多选)在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则csB等于( )
A.eq \f(\r(3),3)B.eq \f(2,3)
C．－eq \f(\r(5),3)D.eq \f(\r(5),3)
2．锐角△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，且满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，若a＝eq \r(3)，则b2＋c2的取值范围是( )
A．(3,6] B．(3,5)
C．(5,6] D．[5,6]
3．(学科素养——数学建模)如图，在△ABC中，B＝eq \f(π,3)，D为边BC上的点，E为AD上的点，且AE＝8，AC＝4eq \r(10)，∠CED＝eq \f(π,4).
(1)求CE的长；
(2)若CD＝5，求cs∠DAB的值．
9．2 正弦定理与余弦定理的应用(一)
必备知识基础练
1．答案：A
解析：由sin A：sin B：sin C＝3：4：5，
得a：b：c＝3：4：5.
不妨设a＝3k，b＝4k，c＝5k(k>0)，
则有c2＝a2＋b2，故△ABC为直角三角形．
2．答案：(1)等腰 (2)等腰或直角
解析：(1)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B).
又acs B＝bcs A，所以eq \f(a,b)＝eq \f(cs A,cs B)，
所以eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(cs A,cs B)，所以sin A·cs B＝sin B·cs A，
即sin A·cs B－sin B·cs A＝0，故sin(A－B)＝0，
∵A，B是三角形内角，∴－π＜A－B＜π
所以A－B＝0，则A＝B，故△ABC是等腰三角形．
(2)由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，得eq \f(a,b)＝eq \f(sin A,sin B).
又acs A＝bcs B，所以eq \f(a,b)＝eq \f(cs B,cs A)，
所以eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(cs B,cs A)，所以sin A·cs A＝sin B·cs B，
所以2sin A·cs A＝2sin B·cs B，即sin 2A＝sin 2B，
∵A，B为三角形内角，
所以2A＝2B或2A＋2B＝π，得A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
3．答案：D
解析：∵b2＝ac，B＝60°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cs B，
得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，
∴a＝c.又B＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
4．答案：直角
解析：由余弦定理得c2＝bc·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋ac·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＋ab·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直角三角形．
5．答案：D
解析：在△ABC中，A＋B＜π，0＜A＜π－B＜π.
∴cs A＞cs(π－B)＝－cs B.
∴cs A＋cs B＞0.
6．答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4)))
解析：由△ABC为锐角三角形，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0解得eq \f(π,6)＜A＜eq \f(π,4).
7．解析：由正弦定理，a＝eq \f(b,sin B)sin A＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))sin A＝2sin A.
同理c＝2sin C，
∴S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)·2sin A·2sin C·sin 60°
＝eq \r(3)sin Asin C，
∵A＋B＋C＝π，∴C＝π－A－B＝eq \f(2π,3)－A.
又∵A，C为锐角，
∴0∴S＝eq \r(3)sin Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))
＝eq \r(3)sin Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,3)cs A－cs\f(2π,3)sin A))
＝eq \f(3,2)sin Acs A＋eq \f(\r(3),2)sin2A
＝eq \f(3,4)sin 2A＋eq \f(\r(3),2)·eq \f(1－cs 2A,2)
＝eq \f(\r(3),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,6)))＋eq \f(\r(3),4)，
∵eq \f(π,6)∴eq \f(1,2)即S的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3\r(3),4))).
关键能力综合练
1．答案：A
解析：因为cs eq \f(C,2)＝eq \f(\r(5),5)，
所以cs C＝2cs2 eq \f(C,2)－1＝2×eq \f(\r(5),5)2－1＝－eq \f(3,5).
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×－eq \f(3,5)＝32，
所以AB＝eq \r(32)＝4eq \r(2).故选A.
2．答案：C
解析：由eq \f(BC,sin A)＝eq \f(AB,sin C)，得sin C＝eq \f(\r(2),2).
∵BC＝3，AB＝eq \r(6)，∴A>C，则C为锐角，故C＝eq \f(π,4).
3．答案：D
解析：由正弦定理得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，
∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b>c，,a＋c>b，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m(2k＋1)>2mk，,3mk>m(k＋1)，))
∴k>eq \f(1,2).
4．答案：B
解析：∵三边不等，∴最大角大于60°.设最大角为α，故α所对的边长为a＋2，∵sin α＝eq \f(\r(3),2)，∴α＝120°.
由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2)2＋a2＋a(a－2)，即a2＝5a，故a＝5，故三边长为3,5,7，S△ABC＝eq \f(1,2)×3×5×sin 120°＝eq \f(15\r(3),4).
5．答案：C
解析：∵lg a－lg c＝lg sin B＝－lg eq \r(2)，
∴eq \f(a,c)＝sin B，sin B＝eq \f(\r(2),2).
∵B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴B＝eq \f(π,4).
∴eq \f(a,c)＝eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(\r(2),2)，∴sin C＝eq \r(2)sin A＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－C))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs C＋\f(\r(2),2)sin C))，∴cs C＝0，∵C∈(0，π)，C＝eq \f(π,2).
∴A＝π－B－C＝eq \f(π,4).∴△ABC是等腰直角三角形．故选C.
6．答案：B
解析：因为a＝2，c＝eq \r(2)，
所以由正弦定理可知，eq \f(2,sin A)＝eq \f(\r(2),sin C)，
故sin A＝eq \r(2)sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cs C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acs C
＝sin Acs C＋cs Asin C＋sin Asin C－sin Acs C
＝(sin A＋cs A)sin C
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sin C≠0，
则sin A＋cs A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(3π,4).
从而sin C＝eq \f(1,\r(2))sin A＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).
由A＝eq \f(3π,4)知，C为锐角，故C＝eq \f(π,6).
故选B.
7．答案：1
解析：因为sin B＝eq \f(1,2)且B∈(0，π)，
所以B＝eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).
又因为C＝eq \f(π,6)，
所以B＝eq \f(π,6)，A＝π－B－C＝eq \f(2π,3).
又因为a＝eq \r(3)，
由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
即eq \f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq \f(b,sin\f(π,6))，解得b＝1.
8．答案：eq \f(2\r(3),3)
解析：∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得
sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C.
又sin Bsin C＞0，∴sin A＝eq \f(1,2).
由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(8,2bc)＝eq \f(4,bc)＞0，
∴cs A＝eq \f(\r(3),2)，bc＝eq \f(4,cs A)＝eq \f(8\r(3),3)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2\r(3),3).
9．答案：eq \f(π,3) (2，＋∞)
解析：由余弦定理得a2＋c2－b2＝2accs B.
∵S＝eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，
∴eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)×2accs B，
∴tan B＝eq \r(3)，又B∈(0，π)，
∴B＝eq \f(π,3).
又∵C为钝角，∴C＝eq \f(2π,3)－A＞eq \f(π,2)，
∴0＜A＜eq \f(π,6).
由正弦定理得eq \f(c,a)＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A)),sin A)
＝eq \f(\f(\r(3),2)cs A＋\f(1,2)sin A,sin A)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)·eq \f(1,tan A).
∵0＜tan A＜eq \f(\r(3),3)，∴eq \f(1,tan A)＞eq \r(3)，
∴eq \f(c,a)＞eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝2，
即eq \f(c,a)＞2.
∴eq \f(c,a)的取值范围是(2，＋∞)．
10．解析：由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2，
∴a＝2sin A，b＝2sin B，
则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B)＋eq \r(3)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin A＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－A))))＋eq \r(3)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin A＋\f(\r(3),2)cs A－\f(1,2)sin A))＋eq \r(3)
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin A＋\f(\r(3),2)cs A))＋eq \r(3)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＋eq \r(3).
∵0∴eq \f(\r(3),2)∴2eq \r(3)<2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,3)))＋eq \r(3)≤2＋eq \r(3)，
∴△ABC周长的取值范围是(2eq \r(3)，2＋eq \r(3)]．
学科素养升级练
1．答案：CD
解析：由正弦定理得sin B＝eq \f(2,3)，如图所示．
过C作CD⊥AH，D为垂足，在Rt△ACD中，得CD＝AC·sin 30°＝20×sin 30°＝10，
∵10<15<20，∴以C为圆心，以15为半径作弧，该弧与AH交于两点，即B有两解．
∴cs B＝±eq \r(1－sin2B)＝± eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2)＝±eq \f(\r(5),3).故选CD.
2．答案：C
解析：因为(a－b)(sin A＋sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2)，
∵A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴A＝eq \f(π,3)，∴B＋C＝eq \f(2π,3)，
又△ABC为锐角三角形，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0\f(π,2)，))
∴eq \f(π,6)得b＝2sin B，c＝2sin C，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin2B＋sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))))＝4－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B＋\f(π,3)))，又eq \f(π,6)3．解析：(1)由题意可得∠AEC＝π－eq \f(π,4)＝eq \f(3π,4)，
在△AEC中，由余弦定理得
AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcs∠AEC，
所以160＝64＋CE2＋8eq \r(2)CE，
整理得CE2＋8eq \r(2)CE－96＝0，
解得CE＝4eq \r(2).
故CE的长为4eq \r(2).
(2)在△CDE中，由正弦定理得eq \f(CE,sin∠CDE)＝eq \f(CD,sin∠CED)，
即eq \f(4\r(2),sin∠CDE)＝eq \f(5,sin\f(π,4))，
所以5sin∠CDE＝4eq \r(2)sin eq \f(π,4)＝4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝4，
所以sin∠CDE＝eq \f(4,5).
因为点D在边BC上，所以∠CDE>B＝eq \f(π,3)，
而eq \f(4,5)所以∠CDE只能为钝角，
所以cs∠CDE＝－eq \f(3,5)，
所以cs∠DAB＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(∠CDE－\f(π,3)))＝cs∠CDEcseq \f(π,3)＋sin∠CDEsineq \f(π,3)＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(4\r(3)－3,10).必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
用正弦定理判断三角形形状
知识点二
用余弦定理判断三角形形状
知识点三
用正余弦定理解三角形综合问题
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层