数学必修 第四册9.3 数学探究活动:得到不可达两点之间的距离练习题

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1.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行45km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )
A．15eq \r(3)kmB．30km
C．15kmD．15eq \r(2)km
2．如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则BC为________m.
3．A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7km，CB＝5km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________km.
4．如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )
A．10mB．5eq \r(3)m
C．5(eq \r(3)－1) mD．5(eq \r(3)＋1) m
5．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )
A．10mB．10eq \r(2)m
C．10eq \r(3)mD．10eq \r(6)m
6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________.
7．当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是( )
A．15°B．30°
C．45°D．60°
8．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50m，山坡对于地平面的坡度为θ，则csθ等于( )
A.eq \f(\r(3),2)B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \r(3)－1D.eq \r(2)－1
9．如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为________.
一、选择题
1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12mB．8m
C．3eq \r(3)mD．4eq \r(3)m
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>βB．α＝β
C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
3．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东80°D．南偏西80°
4．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1>d2B．d1C．d1>20mD．d2<20m
5．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq \r(3)h，该船实际航程为( )
A．2eq \r(15)kmB．6km
C．2eq \r(21)kmD．8km
6．(易错题)从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2h米B.eq \r(2)h米
C.eq \r(3)h米D．2eq \r(2)h米
二、填空题
7．一船以22eq \r(6)km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________km.
8．一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝90，BC＝150，则DE＝________.
9．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼的高是________米，乙楼的高是________米．
三、解答题
10．(探究题)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα.
1．(多选)某人向正东方向走了xkm后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好eq \r(3)km，则x的值为( )
A.eq \r(3)B．2eq \r(3)
C．2D．3
2．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则csθ的值为________．
3．(情境命题——生活情境)在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8s后B市感到地表震动，20s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距离．
9．2 正弦定理与余弦定理的应用(二)
9．3 数学探究活动：得到不可达
两点之间的距离必备知识基础练
1．答案：A
解析：设灯塔位于A处，船开始的位置为B，航行45 km后到C处，如图所示．
∵∠DBC＝60°，∠ABD＝30°，BC＝45，
∴∠ABC＝60°－30°＝30°，∠BAC＝180°－60°＝120°.
在△ABC中，由正弦定理，
可得AC＝eq \f(BCsin∠ABC,sin∠BAC)＝eq \f(45,\f(\r(3),2))×eq \f(1,2)＝15eq \r(3).
即船与灯塔的距离是15eq \r(3) km.故选A.
2．答案：60(eq \r(6)－eq \r(2))
解析：由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
由正弦定理，BC＝eq \f(AB,sin∠ACB)·sin∠CAB＝eq \f(120,sin 75°)·sin 30°＝eq \f(120,\f(\r(6)＋\r(2),4))×eq \f(1,2)＝60(eq \r(6)－eq \r(2))．
3．答案：eq \r(39)
解析：由余弦定理，
得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cs C
＝72＋52－2×7×5×eq \f(1,2)
＝39.
∴AB＝eq \r(39).
4．答案：D
解析：在△ADC中，由正弦定理得
AD＝eq \f(10sin 135°,sin 15°)＝10(eq \r(3)＋1)，
在Rt△ABD中，AB＝ADsin 30°＝5(eq \r(3)＋1)(m)．
5．答案：D
解析：在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BDC)＝eq \f(CD,sin∠DBC)，
BC＝eq \f(10sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2)(m)．
在Rt△ABC中，tan 60°＝eq \f(AB,BC)，AB＝BC×tan 60°＝10eq \r(6)(m)．
6．答案：150 m
解析：由题意可知AB＝BC＝100 m，所以AC＝100eq \r(2) m，在△ACM中，由正弦定理得AM＝eq \f(AC,sin 45°)·sin 60°＝100eq \r(3) m，所以MN＝AMsin 60°＝100eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝150 m.
7．答案：B
解析：设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.
由正弦定理，得eq \f(2,sin 60°)＝eq \f(x,sin(120°－α))，
∴x＝eq \f(4\r(3),3)sin(120°－α)．
∵30°<120°－α<120°，
∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值．
即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长．
8．答案：C
解析：在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin 30°)＝eq \f(AC,sin 135°)，
∴AC＝100eq \r(2)(m)．
在△ADC中，eq \f(AC,sin(θ＋90°))＝eq \f(CD,sin 15°)，
∴cs θ＝sin(θ＋90°)＝eq \f(AC·sin 15°,CD)＝eq \r(3)－1.
9．答案：45°
解析：依题意可得AD＝20eq \r(10)，AC＝30eq \r(5)，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cs∠CAD＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC·CD)
＝eq \f((30\r(5))2＋(20\r(10))2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq \f(6 000,6 000\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
关键能力综合练
1．答案：D
解析：由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，
即AB＝eq \f(AC·sin C,sin B)＝eq \f(4·sin 120°,sin 30°)＝4eq \r(3)(m)．
2．答案：B
解析：由仰角与俯角的定义可知α＝β，故选B.
3．答案：D
解析：由条件及题图可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
4．答案：B
解析：由tan 50°＝eq \f(20,d1)，tan 40°＝eq \f(20,d2)及tan 50°>tan 40°可知，d15．答案：B
解析：如图所示，在△ACD中，AC＝2eq \r(3)，CD＝4eq \r(3)，∠ACD＝60°，
由余弦定理，得
AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcs∠ACD
＝12＋48－2×2eq \r(3)×4eq \r(3)×eq \f(1,2)＝36.
解得AD＝6，即该船实际航程为6 km.
6．答案：A
解析：如图所示，BC＝eq \r(3)h，AC＝h，
∴AB＝eq \r(3h2＋h2)＝2h.
7．答案：66
解析：如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，
AB＝22eq \r(6)×eq \f(3,2)＝33eq \r(6)(km)，
由正弦定理，得eq \f(33\r(6),sin 120°)＝eq \f(SB,sin 45°)，
∴SB＝66(km)．
8．答案：210
解析：由题意知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠ACB＝902＋1502－2×90×150×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝44 100.
∴AB＝210，DE＝210.
9．答案：20eq \r(3) eq \f(40,3)eq \r(3)
解析：甲楼的高为20tan 60°＝20×eq \r(3)＝20eq \r(3)(米)；
乙楼的高为20eq \r(3)－20tan 30°＝20eq \r(3)－20×eq \f(\r(3),3)
＝eq \f(40,3)eq \r(3)(米)．
10．解析：(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，
AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cs∠BAC＝62＋102－2×6×10×cs 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝eq \f(BC,2)＝7(n mile/h)，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得eq \f(AB,sin α)＝eq \f(BC,sin 120°)，
即sin α＝eq \f(ABsin 120°,BC)＝eq \f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq \f(3\r(3),14).
学科素养升级练
1．答案：AB
解析：如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝eq \r(3)，∠ABC＝30°，
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC.
即(eq \r(3))2＝x2＋32－2x·3·cs 30°.
∴x2－3eq \r(3)x＋6＝0.
解得x＝2eq \r(3)或x＝eq \r(3).
2．答案：eq \f(\r(21),14)
解析：由题图知，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800，
所以BC＝20eq \r(7)，
由正弦定理得
sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq \f(\r(21),7)，
由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，
故cs∠ACB＝eq \f(2\r(7),7).
故cs θ＝cs(∠ACB＋30°)＝cs∠ACBcs 30°－sin∠ACBsin 30°＝eq \f(\r(21),14).
3．解析：由题意得，在△ABC中，AB－AC＝1.5×8＝12(km)．
在△ACD中，AD－AC＝1.5×20＝30(km)．
设AC＝x km，AB＝(12＋x) km，AD＝(30＋x) km.
在△ABC中，cs∠ACB＝eq \f(x2＋400－(12＋x)2,2×20×x)
＝eq \f(256－24x,40x)＝eq \f(32－3x,5x)，
在△ACD中，cs∠ACD＝eq \f(x2＋1156－(30＋x)2,68x)
＝eq \f(256－60x,68x)＝eq \f(64－15x,17x).
∵B，C，D在一条直线上，
∴eq \f(64－15x,17x)＝－eq \f(32－3x,5x)，
即eq \f(64－15x,17)＝eq \f(3x－32,5)，
解得x＝eq \f(48,7).
∴AB＝eq \f(132,7) km，AD＝eq \f(258,7) km.
即震中A到B，C，D三市的距离分别为eq \f(132,7) km，eq \f(48,7) km，eq \f(258,7) km.必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
距离问题
知识点二
高度问题
知识点三
角度问题
关键能力综合练
进阶训练第二层
学科素养升级练
进阶训练第三层